Ется верная альтернативная гипотеза H1

Вероятность ошибки первого рода (α) называется уровнем

значимости критерия. Чем меньше α, тем меньше вероятность

отклонить верную гипотезу Hо. Допустимую α обычно зада-

Ют заранее. Как правило, применяют стандартные значения

α = 0,01; 0,05; 0,1.

Вероятность ошибки второго рода обозначают через β. Ве-

личину (1 − β) — вероятность недопущения ошибки второго

Рода (принять верную гипотезу H1 и отвергнуть неверную ги-

Потезу H0) — называют мощностью критерия.

Сначала используем для проверки гипотезы о нормальном

распределении критерий Пирсона (χ2). Приведем краткие тео-

ретические сведения. Предположим, что проведено n опытов в

каждом из которых случайная величина Х приняла определен-

ное значение, т. е. х 1 х 2….., хk (k — число возможных значений

случайной величины Х). В результате получаем статистичес-

кий ряд распределения (табл. 6.6).

Таблица 6.6

х 1 х 2 … хk

f 1 f 2 … fk

Где — соответствующие относительные частоты.

Выдвигаем гипотезу H0, о том, что случайная величина Х

имеет распределение (табл. 6.7).

Таблица 6.7

х 1 х 2 … хk

P 1 P 2 … Pk

Где — соответствующие вероятности.

Считаем, что отклонения fi от Pi имеют случайные причи-

Ны. Для проверки правдоподобия выдвинутой гипотезы надо

Выбрать какую-то меру расхождения между статистическими

И теоретическими распределениями.

В качестве такой меры расхождения при использова-

Нии критерия Пирсона берется сумма квадратов отклонений

(fi − Pi), взятых с некоторыми весами Сi, т. е.

. (6.71)

Веса Сi вводят, так как отклонения, относящиеся к разным

Значениям Pi, нельзя считать равноправными по значимости.

Пирсон доказал, что если взять

, (6.72)

то при большом числе опытов n закон распределения величи-

ны Ra обладает следующими свойствами: он практически не

зависит от закона распределения случайной величины Х, мало

зависит от числа опытов n, зависит только от количества зна-

чений случайной величины Х (k) и при n → ∞ приближается к

распределению χ2 Поэтому меру расхождения в данном случае

обозначают χ2, т. е.

. (6.73)

Вводим n под знак суммы, учитывая, что, и после

Преобразований получаем

. (6.74).

Распределение χ2 зависит от параметра называемого чис-

лом степеней свободы (r с), который определяется следующим

образом:

rс = k − Sв, (6.75)

где Sв — количество независимых условий, которые наложены

на относительные частоты. Для нашего примера Sв = 3. Мы пот-

ребовали, чтобы выполнялись условия:

;;.

Для распределения χ2 составлены таблицы (см. приложе-

Ние 6). Для нашего примера проверим гипотезу о нормальном

Распределении с помощью критерия Пирсона.

Вернемся к табл. 6.5, где осталась одна незаполненная гра-

фа (Pi) — это теоретические вероятности попадания в интервал

случайной величины Х, имеющей нормальное распределение с

параметрами = 90; = 7,6.

Для их нахождения используем формулу (2.44). Получаем:

где Φ о (x) — нормированная функция Лапласа, для которой, как

Мы уже говорили, составлены таблицы (см. приложение 5).

;

;

Полученные значения вероятностей занесем в табл. 6.5.

Далее по формуле (6.74) получим:

.

Число степеней свободы в нашем случае равно rc = 6 − 3 = 3.

Уровень значимости принимаем равным 0,1, т. е. α = 0,1. По таб-

лице распределения χ2 (см. приложение 6) по уровню значимос-

ти α = 0,1 и по числу степеней свободы rc = 3 находим = 6,25.

Так как, то гипотеза о нормальном распределении не

Противоречит данным наблюдений и ее можно принять с уров-

Нем значимости 0,1. Если под рукой нет таблицы распределе-

ния χ2, для оценки случайности расхождения fi от Pi можно ис-

Пользовать критерий Романовского

. (6.76)

Если соотношение (6.76) меньше трех, то расхождение

Между фактическим и теоретическим распределениями носит

Случайный характер, а в противном случае они существенны.

Для данных примера имеем, поэтому гипо-

Тезу о нормальном распределении тоже можно принять.

Теперь применим для проверки гипотезы о нормальном

Распределении критерий согласия Колмогорова.

Критерий Колмогорова основан на нахождении макси-

Мального расхождения между накопленными частотами или