Вероятность ошибки первого рода (α) называется уровнем
значимости критерия. Чем меньше α, тем меньше вероятность
отклонить верную гипотезу Hо. Допустимую α обычно зада-
Ют заранее. Как правило, применяют стандартные значения
α = 0,01; 0,05; 0,1.
Вероятность ошибки второго рода обозначают через β. Ве-
личину (1 − β) — вероятность недопущения ошибки второго
Рода (принять верную гипотезу H1 и отвергнуть неверную ги-
Потезу H0) — называют мощностью критерия.
Сначала используем для проверки гипотезы о нормальном
распределении критерий Пирсона (χ2). Приведем краткие тео-
ретические сведения. Предположим, что проведено n опытов в
каждом из которых случайная величина Х приняла определен-
ное значение, т. е. х 1 х 2….., хk (k — число возможных значений
случайной величины Х). В результате получаем статистичес-
кий ряд распределения (табл. 6.6).
Таблица 6.6
х 1 х 2 … хk
f 1 f 2 … fk
Где — соответствующие относительные частоты.
Выдвигаем гипотезу H0, о том, что случайная величина Х
имеет распределение (табл. 6.7).
Таблица 6.7
х 1 х 2 … хk
P 1 P 2 … Pk
Где — соответствующие вероятности.
Считаем, что отклонения fi от Pi имеют случайные причи-
Ны. Для проверки правдоподобия выдвинутой гипотезы надо
Выбрать какую-то меру расхождения между статистическими
И теоретическими распределениями.
В качестве такой меры расхождения при использова-
Нии критерия Пирсона берется сумма квадратов отклонений
(fi − Pi), взятых с некоторыми весами Сi, т. е.
. (6.71)
Веса Сi вводят, так как отклонения, относящиеся к разным
Значениям Pi, нельзя считать равноправными по значимости.
Пирсон доказал, что если взять
, (6.72)
то при большом числе опытов n закон распределения величи-
ны Ra обладает следующими свойствами: он практически не
зависит от закона распределения случайной величины Х, мало
зависит от числа опытов n, зависит только от количества зна-
чений случайной величины Х (k) и при n → ∞ приближается к
распределению χ2 Поэтому меру расхождения в данном случае
обозначают χ2, т. е.
. (6.73)
Вводим n под знак суммы, учитывая, что, и после
Преобразований получаем
. (6.74).
Распределение χ2 зависит от параметра называемого чис-
лом степеней свободы (r с), который определяется следующим
образом:
rс = k − Sв, (6.75)
где Sв — количество независимых условий, которые наложены
на относительные частоты. Для нашего примера Sв = 3. Мы пот-
ребовали, чтобы выполнялись условия:
;;.
Для распределения χ2 составлены таблицы (см. приложе-
Ние 6). Для нашего примера проверим гипотезу о нормальном
Распределении с помощью критерия Пирсона.
Вернемся к табл. 6.5, где осталась одна незаполненная гра-
фа (Pi) — это теоретические вероятности попадания в интервал
случайной величины Х, имеющей нормальное распределение с
параметрами = 90; = 7,6.
Для их нахождения используем формулу (2.44). Получаем:
где Φ о (x) — нормированная функция Лапласа, для которой, как
Мы уже говорили, составлены таблицы (см. приложение 5).
;
;
Полученные значения вероятностей занесем в табл. 6.5.
Далее по формуле (6.74) получим:
.
Число степеней свободы в нашем случае равно rc = 6 − 3 = 3.
Уровень значимости принимаем равным 0,1, т. е. α = 0,1. По таб-
лице распределения χ2 (см. приложение 6) по уровню значимос-
ти α = 0,1 и по числу степеней свободы rc = 3 находим = 6,25.
Так как, то гипотеза о нормальном распределении не
Противоречит данным наблюдений и ее можно принять с уров-
Нем значимости 0,1. Если под рукой нет таблицы распределе-
ния χ2, для оценки случайности расхождения fi от Pi можно ис-
Пользовать критерий Романовского
. (6.76)
Если соотношение (6.76) меньше трех, то расхождение
Между фактическим и теоретическим распределениями носит
Случайный характер, а в противном случае они существенны.
Для данных примера имеем, поэтому гипо-
Тезу о нормальном распределении тоже можно принять.
Теперь применим для проверки гипотезы о нормальном
Распределении критерий согласия Колмогорова.
Критерий Колмогорова основан на нахождении макси-
Мального расхождения между накопленными частотами или
