Перечислим основные показатели вариации и приведем

Формулы для их вычисления.

Для характеристики размера вариации в статистике при-

меняют абсолютные показатели вариации: размах вариации,

Среднее линейное отклонение, средне квадратическое отклоне-

Ние, дисперсию.

Размах вариации — разность между максимальными и

Минимальными значениями признака в изучаемой совокупнос-

Ти, т. е.

R = Xmax − Xmin. (6.25)

Размах вариации легко находится по рангам ранжирован-

Ного ряда распределения.

Более точно характеризует вариацию среднее линейное

Отклонение, которое находится как среднее арифметическое

Отклонений индивидуальных значений от средней без учета

Знака этих отклонений, т. е.

. (6.26)

Если исходные данные сгруппированы, то мы можем на-

Ходить взвешенное среднее линейное отклонение, причем в ка-

честве веса можно применять и частоту (μ), и относительную

частоту (f).

; (6.27)

. (6.28)

Более объективно на практике меру вариации отражает

Дисперсия (средний квадрат отклонений). О ней говорилось в

Главе 2. В данном случае речь идет об оценки дисперсии, так

Как значения вероятностей не известны.

Если мы имеем несгруппированный ряд распределения, то

Дисперсия определяется формулой

. (6.29)

Заметим, что оценка дисперсии, получаемая по формуле

(6.28) является смещенной. Пользуясь ей, мы будем совершать

Некоторую систематическую ошибку в меньшую сторону. Не-

Смещенная оценка для дисперсии находится по формуле

. (6.30)

Как правило, формула (6.30) применяется в тех случаях,

Когда изучаемая совокупность невелика, не более 40 единиц.

В тех случаях, когда n > 40, используют формулу (6.29).

Когда исходные данные сгруппированы, вычисляют взве-

Шенные оценки дисперсии

; (6.31)

. (6.32)

Извлекая из дисперсии арифметический квадратный ко-

Рень, получаем еще одну характеристику (о ней тоже говори-

Лось в главе 2) — среднее квадратичное отклонение, или стан-

Дарт (точнее его оценку).

. (6.33)

Если изучаемая совокупность достаточно велика, то ее, как

Правило, разбивают на группы по какому-либо признаку. Поэто-

Му наряду с изучением вариации признака по всей совокупнос-

Ти в целом можно изучать вариации для каждой составляющей

Ее группы, а также между самими группами. Если совокупность

Расчленяется по какому-то одному фактору, то изучение вари-

Ации достигается путем нахождения и анализа трех видов дис-

персий: общей, межгрупповой, внутригрупповой.

Общая дисперсия () определяет вариацию по всей со-

Вокупности под влиянием всех факторов, которые обусловили

Эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отде-

льных значений признака х от общей средней арифметической

() и вычисляется по формулам (6.29), (6.31), (6.32).

Межгрупповая дисперсия () характеризует система-

Тическую вариацию результативного порядка, который обус-

Ловлен влиянием признака, положенного в основу группировки.

Она равна среднему квадрату отклонений групповых средних

От общей средней арифметической, т. е.

; (6.34)

, (6.35)

где, k — количество групп;

μi — частота (количество единиц) в группе i;

fi — относительная частота группы i.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную

Вариацию (часть вариации), обусловленную влиянием неуч-

Тенных факторов и не зависимую от признака, положенного

В основание группировки. Она равна среднему квадрату от-

клонений отдельных значений признака внутри группы хj от

Средней арифметической этой группы и находится по

формулам:

, (6.36)

Если группа содержит не более 40 наблюдений;

, (6.37)

если группа содержит более 40 наблюдений (m — количество

Единиц в конкретной группе).

Применяются и формулы для взвешенной дисперсии:

; (6.38)

. (6.39)

Найдя внутригрупповые дисперсии по каждой группе

Можно вычислить среднюю из внутригрупповых дисперсий по

формулам:

; (6.40)

(6.41)

Или используя соотношение (6.13).

По правилу сложения дисперсий общая дисперсия должна

Быть равна сумме межгрупповой и средней из внутригруппо-

Вых дисперсий, т. е.

. (6.42)

Вариация качественного (альтернативного) признака (при-