Значение случайной величины Х — это сумма достаточно боль-
Шого числа независимых случайных величин, то по централь-
Ной предельной теореме распределения близко к нормальному
С математическим ожиданием
(6.57)
И дисперсией
, (6.58)
А значит со стандартом
. (6.59)
Для того чтобы определить параметры нормального рас-
Пределения по которому находится оценка, заменяем в
формулах (6.57)−(6.59) истинные параметры М [ Х ], D [ Х ] и σ(x)
Их оценками,, и получаем
; (6.60)
; (6.61)
. (6.62)
Допуская, что случайная величина имеет нормальное
распределение с параметрами М [ ] и D [ ], находим прибли-
Женно вероятность того, что оценка отклоняется от своего
математического ожидания менее чем на ε.
, (6.63)
где Φо(х) — нормированная функция Лапласа, о которой уже
Говорилось в главе 2. Для нее составлены таблицы (см. прило-
Жение 5).
Используем данные рассматриваемого нами примера и
оценим точность и надежность. Для нашего примера имеем:
= 90; = 57,5; = 7,6. Найдем вероятность того, что, пола-
гая М [ Х ] ≈, не совершим ошибки более чем ε = 3.
По формулам (6.60)−(6.62) получили:
М[ ] ≈ 90; D[ ] ≈ 2,88; σ[ ] ≈ 1,7.
Далее по формуле (6.63) имеем:
.
По таблице приложения 5 находим Φо(1,765) = 0,46164, т. е.
вероятность того, что ошибки от замены М[ Х ] на не превы-
сит 3 приближенно равна 0,92 (92%). Эту вероятность можно
Считать достаточной.
Доказывается, что при n > 20 оценка независимо от рас-
Пределения случайной величины Х приближенно распределе-
на по нормальному закону с параметрами:
M[ ] = D[Х]; (6.64)
; (6.65)
. (6.66)
Заменяя в формулах (6.64)−(6.66) D[Х] ее статистической
оценкой получим:
; (6.67)
; (6.68)
. (6.69)
Используя данные примера, по формулам (6.67)и (6.69) по-
лучим:
;.
Теперь по формуле (6.63) находим вероятность того, что
оценка отклонится от своего истинного значения D[ Х ] мень-
ше чем на ε = 3.
.
По таблице приложения 5 находим Φо(0,16) = 0,06356, т. е.
вероятность того что оценка от замены D[ Х ] на будет менее
3 равна 0,13 (13%), что явно недостаточно. У нас всего 20 наблю-
дений, а формулы (6.64)−(6.66) работают при n > 20.
Мы уже говорили, что наш пример учебный. В реальных
Задачах данных значительно больше, поэтому и вероятность,
Полученная по формуле (6.63), будет значительно выше.
Полученная нами гистограмма (см. рис. 6.2.) — это графи-
Ческое изображение нашего распределения. Но пользовать-
Ся гистограммой при дальнейших исследованиях неудобно.
Поэтому ставиться вопрос о том, как подобрать для данно-
Го конкретного распределения аналитическую зависимость
(формулу), которая выражала бы лишь существенные черты
Нашего распределения. Данную задачу называют, выравни-
Ваем статистических распределений. Обычно выравнива-
Ют гистограммы, т. е. заменяют ее некоторой теоретической
Кривой, имеющей определенное аналитическое выражение.
А затем это выражение принимают за плотность распреде-
ления f (x) .
В рассматриваемом примере мы выравниваем построен-
Ную нами гистограмму по нормальному закону с параметрами
= 90; = 7,6, т. е. в выражении для плотности нормального
Распределения
.
Заменяем M[ X ] и σ[ X ] их оценками и получаем
. (6.70)
В качестве значений х берем границы интервалов в нашем
Группированном ряду, подставляем их в формулу (6.70) и по-
лучаем:
;
;
;
;
;
;
.
Полученные данные наносим на рис 6.2 и получаем плав-
Ную кривую.
Теперь проверим гипотезу Hо о нормальном законе рас-
пределения с плотностью f (x). Гипотезе Hо противопоставля-
Ется альтернативная гипотеза H1, которая говорит о том, что
Случайная величина Х не подчиняется нормальному закону с
параметрами = 90; = 7,6.
Для того чтобы сделать вывод о том, согласуются ли дан-
Ные наблюдений с выдвинутой нами гипотезой, применяют
Критерий согласия. Критерием согласия называется критерий
Проверки гипотезы о законе распределения. Он применяется
Для проверки согласия предполагаемого вида закона распреде-
Ления с опытными данными.
Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Фи-
Шера, Колмогорова и др.
При проверке гипотез могут допускаться ошибки двух ви-
Дов. Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается верная
Нулевая гипотеза Hо; ошибка второго рода — в том, что отверга-
