Понятие о предельных теоремах

Кратко рассмотрим предельные теоремы, которые уста-

навливают связь между теоретическими и эксперименталь-

ными характеристиками случайных величин при большом ко-

личестве опытов. Предельные теоремы подразделяют на две

группы:

1) группа закона больших чисел;

2) группа центральной предельной теоремы.

Кратко рассмотрим группу закона больших чисел. Его фи-

зическое содержание можно сформулировать следующим об-

разом: __________при большом числе случайных явлений их средний ре-

зультат практически перестает быть случайным и может быть

предсказан с большой степенью определенности.

В узком смысле слова под законом больших чисел понима-

ется ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных условий

устанавливается факт приближений средних характеристик

большого числа экспериментов к определенным неслучайным

величинам.

Все теоремы закона больших чисел опираются на нера-

венство Чебышева, которое мы и проводим.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина X имеет

математическое ожидание M[ X ] и дисперсию D[ X ], то для ∀ε > 0

справедливо неравенство:

. (2.80)

Неравенство (2.80) отграничивает вероятности больших

отношений случайной величины X от ее математического ожи-

дания.

Для противоположного события неравенство Чебышева

принимает вид:

. (2.81)

Неравенства (2.80) и (2.81) можно использовать для нахож-

дения оценок вероятности отклонения наблюдаемой случайной

величины от своего математического ожидания, если неизвес-

тен закон распределения.

Пример 2.6

Определить вероятность того, что случайная величина X,

имеющая произвольный закон распределения, отклонится от

своего математического ожидания на величину, не выходящую

за пределы ±3σ[ X ].

Принимая в формуле (2.81) ε = 3σ[ X ] получаем

.

Для любой случайной величины Х вероятность выполне-

ния правила 3σ[ X ] будет не ниже 8/9.

Если случайная величина Х распределена по нормальному

закону, то вероятность попадания случайной величины в ин-

тервал | X − M [ X ]| ≤ 3σ[ X ] будет равна 0,997.

Теорема Чебышева (иногда ее называют законом больших

чисел).

Предположим, что производится n независимых измере-

ний случайной величины Х, которая имеет конечные матема-

тическое ожидание М [ X ] и дисперсию D [ X ]. Измерения равно-

точны и не имеют систематических ошибок. В этом случае при

неограниченном увеличении количества измерений n среднее

арифметическое результатов измерений xi сходится по веро-

ятности к математическому ожиданию этой случайной величи-

ны, т. е.

, (2.82)

где ε > 0.

Из формулы (2.82) следует, что при достаточно большом ко-

личестве наблюдений n существенные отклонения по абсолют-

ной величине среднего арифметического результатов измере-

ний от математического ожидания маловероятны. Поэтому при

большом количестве наблюдений можно заменять неизвестное

математическое ожидание средним арифметическим.

Теорема Бернулли. Это теорема доказывает устойчивость

относительной частоты случайного события, а это позволяет

применять на практике статистическое определение вероят-

ности наступления события.

При неограниченном возрастании числа независимых опы-

тов n, производимых в одних и тех же условиях, относительная

частота события А (f (A)) сходится по вероятности к вероятнос-

ти этого события P (A), т. е.

, (2.83)

где ε > 0.

Из теоремы Бернулли следует, что при большом количес-

тве наблюдений относительную частоту появления случайного

события можно принимать за вероятность этого события.

Теперь кратко рассмотрим группу теорем центральной

предельной теоремы. Она имеет ряд форм, которые устанавли-

вают связь между законом распределения суммы случайных

величин и ее предельной формой — нормальным законом рас-

пределения.

Различные формы центральной предельной теоремы раз-

личаются между собой условиями, накладываемыми на распре-

деления образующих сумму случайных слагаемых X 1, X 2,..., Xn.

Чем эти условия жестче, тем проще доказывается теорема.

Теорема. Если X 1, X 2,..., Xn — независимые случайные ве-

личины, которые имеют одно и то же распределение с мате-

матическим ожиданием M [ X ] и дисперсией D[ X ], то при увели-

чении n закон распределения суммы случайных величин

неограниченно приближается к нормальному.

Теорема Ляпунова. Предположим, что X 1, X 2,..., Xn — не-

зависимые случайные величины с математическими ожидани-

ями M[ X 1], M[ X 2],…, M[ Xn ] и дисперсиями D[ X 1], D[ X 2],…, D[ Xn ],

причем n → ∞.

. (2.84)

Ляпунов доказал, что при n → ∞ закон распределения слу-

чайной величины неограниченно приближается к нор-

мальному.

Смысл условия (2.84) состоит в том, чтобы в сумме не было

слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы было бы

велико по сравнению с влиянием всех остальных. Также не

должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние

которых на рассеивание суммы очень мало по сравнению с сум-

марным влиянием остальных.

Вопросы для самопроверки

1. Каков предмет теории вероятностей?

2. Дайте определение суммы и произведения нескольких

случайных событий.

3. Приведите классическое определение вероятности.

4. Приведите статистическое определение вероятности.

5. Приведите аксиоматическое определение вероятности.

6. Каковы правила действия с вероятностями?

7. Дайте определения случайной величины.

8. Что такое функция распределения случайной величины?

9. Что такое плотность распределения случайной вели-

чины?

10. Расскажите о числовых характеристиках случайной

величины.

11. От каких параметров зависит нормальное распреде-

ление?

12. Дайте определение системы случайной величины.

13. Какие формы закона распределения случайных вели-

чин вы знаете?

14. Какие числовые характеристики системы случайных

величин вы знаете?

15. В чем состоит суть закона больших чисел?

16. В чем состоит суть центральной предельной теоремы?

Глава 3

СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ