, ,
.
,
. -
.
,
, -
, -
,
. -
, -
,
., -
, -
, .
,
. -
X m
σ, :
. (2.43)
-
(. 2.16)
f(x)
0 m X
. 2.16
f (x) -
(m,). ,
. -
, m.
(2.31) (2.38) (., , [8]),
M [ X ] = m, D [X] = σ2, . . m
X,
X, -
, σ2.
, -
X (; b),
. (2.44)
(2.44) Φ0(x) -
,
. (2.45)
Φ0(x) (. -
5). , 5
. Φ0(x)
:
1) Φ0(0) = 0;
2) Φ0(- x) = -Φ0(x);
3) Φ0(+∞) = 0,5;
4) Φ0(-∞) = -0,5.
-
X 2 d,
m (. 2.17).
:
. (2.46)
-
-
X.
f(x)
0 m x
d d
. 2.17
(2.44) , F0(-∞) = -0,5,
:
. (2.47)
m = 0, σ = 1,
(2.43) :
.
|
|
(. [25]).
, , -
.
.
:
1. -
: (ϕ), (λ), -
(H).
2. -
, -
.
(X 1, X 2, , Xn),
,
n .
n- . -
n
, . .
(X 1, X 2, , Xn) = ϕ(ω). (2.48)
ω -
n , -
(X 1, X 2, , Xn) .
(X 1, X 2, , Xn), ,
(
). -
.
(X;Y). -
. (X;Y)
0XY (. 2.18)
(. 2.19).
-
, :
_ ;
_ ;
_ .
-
(X,Y)
,
Pij { X = xi; Y = yj }, i = j =.
{ X = xi; Y = yj } { X = xi }
{ Y = yj }.
-
:
(X;Y):
y
x
y 1 y 2 ym
(2.49)
x 1 P 11 P 12 P 1 m
x 2 P 21 P 22 P 2 m
xn Pn 1 Pn 2 Pnm
,
.
. 2.20
(X, Y).
-
(X,Y)
( ).
:
; (2.50)
y
Y (X, Y)
X x
y
Y (X, Y)
X x
. 2.18 . 2.19
. (2.51)
-
, F (x, y).
(X,Y)
:
X < x Y < y, . .
F (x, y) = { X < x, Y < y }. (2.52)
F (x, y)
(X, Y) -
(x, y),
|
|
(. 2.21).
,
.
(2.49), -
:
. (2.53)
Pij
P11
P13
P12
P21 P22 P23
y1 y2 y3
y
x2
x1
x
. 2.20
.
1. F (x, y)
[0,1] . . 0 ≤ F (x, y) ≤ 1.
2. F (x, y)
, .
x 2 > x 1 F (x 2, y) ≥ F (x 1, y);
y 2 > y 1 F (x, y 2) ≥ F (x, y 1).
3. -
F (x, y) -∞, -
, . .
F (x, -∞) = F (-∞, y) = F (-∞,-∞) = 0.
4. F (x, y) -
+∞, , . . F (+∞,
+∞) = 1.
5. -
+∞,
, -
, . .
F (x, +∞) = F 1(x), F (+∞, y) = F 2(y),
F 1(x) F 2(y) -
X Y .
y
(x, y)
x
. 2.21
6. -
F (x, y) -
, . .
;
.
F (x, y), -
(X, Y) G
, ,
, b d, -
G,
(. 2.22).
P {(X, Y)}∈ G } = F (b, d) − F (a, d) − F (b, c) + F (a, c) (2.54)
y
d
c
a b x
(a, d) (b, d)
(a, c) (b, c)
G
. 2.22
F (x, y) -
, -
(X, Y) , -
.
-
-
( ) f (x, y),
, . .
. (2.55)
f (x, y) -
, -
(. 2.23).
fij
y
x
G
. 2.23
f (x, y) :
1)
, . . f (x, y) ≥ 0;
2) ,
0xy, , . .
.
3) (X, Y)
G
. (2.56)
4) -
(X, Y) -
:
. (2.57)
-
-
: f (x, y) dxdy.
-
f (x, y) dxdy
-
(X, Y)
dx
dy, (x, y) (. 2.24).
-
f (x, y),
.
X
|
|
Y
(2.58)
-
f (x, y),
:
; (2.59)
. (2.60)
X Y, (X, Y),
, -
y
y
dy
dx
x x
. 2.24
X Y .
X Y , -
,
. X Y
.
.
2.2.
X Y, (X, Y), -
,
P { X = xi, Y = yj } = P { X = xi } × P { Y = yj } (2.61)
.
2.3. X Y,
(X, Y), ,
,
, . .
F (x, y) = F 1(x) × F 2(y). (2.62)
2.4. -
X Y, (X, Y), ,
f (x, y) = f 1(x) × f 2(y), (2.63)
. . (X, Y) -
-
.
, X Y, -
, ,
-
.
-
. , -
[8, 25].
, X,
(X, Y) -
. -
.
(k + s) -
(X Y)
Xk Ys, . .
α k, s = M [ Xk Ys ]. (2.64)
(k + s) -
(X, Y)
, . .
, (2.65)
= X − M [ X ], = Y − M [ Y ]
.
, -
, . . (k + s).
-
.
,
; (2.66)
. (2.67)
, Pij = P { X = xi, Y = yj }.
-
. (2.68)
. (2.69)
-
.
:
(2.70)
X Y.
(M [ X ], M [ Y ]) 0XY -
(X, Y), . . -
(M [ X ], M [ Y ]).
, . .
:
(2.71)
α1,1 . -
(2.66) (2.68) :
|
|
−
; (2.72)
−
. (2.73)
:
(2.74)
(2.74) .
μ1,1 , -
(X, Y).
K [ X, Y ] = Kxy. (2.67)
(2.69) :
−
; (2.75)
−
. (2.76)
. -
.
K[ XY ] = M[ XY ] − M[ X ] × M[ Y ] (2.77)
. . -
.
:
1. , . .
:
K[ XY ] = K[ YX ].
2.
, . .
K[ XX ] = D[ X ], K[ YY ] = D[ Y ].
3. X Y , -
:
K[ XY ] = 0.
-
X Y. -
,
X Y. -
-
σ[ X ] × σ[ Y ] -
:
. (2.78)
-
X Y, ,
. X Y
| rxy | ≤ 1. (2.79)
rxy = 0,
X Y .
rxy ≠ 0, X Y -
.
rxy 1, -
X Y. rxy = 1,
X Y
y = kx + b.
X Y
.
, . . rxy = 0,
.
.
.
2.5
(X,Y).
y
x
1 2 3
0 0,2 0 0,1
1 0 0,3 0
4 0,2 0,1 0,1
(X,Y): M [ X ],
M [ Y ], D [ X ], D [ Y ], σ[ X ], σ[ Y ], K[ XY ], rxy.
-
X Y.
(2.50) (2.51) -
X Y. -
:
X:
x 0 1 4
p 0,3 0,3 0,4
Y:
y 1 2 3
p 0,4 0,4 0,2
(2.26) -
:
;
.
(2.37):
;
.
-
(2.39):
;
.
K[ XY ] = M[ XY ] − M[ X ]M[ Y ].
2-
(2.72)
= 0 ⋅ 1 ⋅ 0,2 + 0 ⋅ 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 3 ⋅ 0,1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 0 +
+ 1,2 ⋅ 0,3 + 1,3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 ⋅ 0,2 +4 ⋅ 2 ⋅ 0,1 + 4 ⋅ 3 ⋅ 0,1 =
= 0,6 + 0,8 + 0,8 + 1,2 = 3,4.
K[ XY ] = 3,4 − 1,9 ⋅ 1,8 = -0,02.
(2.78) -
:
.
-
,
-
.