,
,
.
, -
()
-. -
, . -
-
.
()
,
. -
, -
. , , -
.
, .
: -
,
, , -
, -
. .
-
, . -
U.
, -
. , -
.
, -
∅. ,
.
.
, -
,
. -
: , , , -
,
.
, , -
, , -
.
, . -
, .
-
ω.
-
Ω.
, -
ω1, ω2,, ω6, . . Ω = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}.
-
. U -
|
|
, ,
-
, (. 2.1).
U
. 2.1
.
. ( ) 1, 2,... n
, ,
( 1 2, ,
n, ). :
.
. 2.2.
+
.
. (-
) 1, 2,... n -
,
, -
-
, . . 1, 2...
n.
U
B
. 2.2
.
. 2.3.
×
.
. 1, 2,... n
,
-
, . . 1, 2,... n = ∅. ,
,
. -
, , × = ∅.
. 2.4. -
.
.
-
,
-
, . . -
.
, ij = ∅ i ≠ j
ωi -
Ω
.
, -
, . . + = U.
U Ω,
.
. -
, -
, . . .
U
. 2.3
U
. 2.4
. 2.5
U
: ⊂ .
(. 2.5).
:
1) + = + ; ( + ) + = + ( + );
2) A + U = U; A + ∅ = A; A + A = A;
3) A × B = B × A; A × U = A; A × ∅ = ∅;
4) A × A = A; A × (B + C) = A × B + A × C;.
,
.
, , -
, -
-
, . .
+ = + × (. 2.6).
-
. -
,
. -
.
|
|
.
. ,
-
(, )
, . -
= { }.
. (,
, ) (f ()) -
μ ( -
), , -
(n), . .
. 2.6
U
×
. (2.1)
,
, . .
n → ∞, -
. ,
0,5. -
.
1) f (U) = 1, μ = 1.
2) f (∅) = 0, μ = 0.
3) 0 ≤ f () ≤ 1, . . -
-
.
4) 1, 2,... n ,
f (1 + 2 ++ n) = f (1) + f (2) ++ f (n).
.
( ()) ,
(f ())
(n → ∞).
(2.2)
, (2.3)
ε > 0 .
-
.
-
n → ∞ -
.
,
n → ∞ , -
, -
.
,
.
. -
-
, 1713 .
. -
, -
-
.
.
-
, .
, -
, :
1) ;
2) ;
3) .
ω.
, .
. , -
( ()) -
, (m),
(n 1).
. (2.4)
(2.4) -
, , -
.
,
, -
.
, 1/6.
-
|
|
. ,
-
.
. -
- n 1/ n.
,
n m:
− :
, (2.5)
n! n -
n! = 1 × 2 × 3 × n;
− :
.
2.1
, 9 : -
. .
, .
= { } -
(2.4):
,
; .
.
,
.
30- . XX . . . .
.
, -
:
1) (U) = 1;
2) (∅) = 0;
3)
,
0 ≤ () ≤ 1;
4) 1, 2,... n , -
;
5) 1, 2,... n,
,
, . .
.
5 ,
.
-
.
, -
,
, . -
, (2.4), ,
, . .
.
() + () = 1, (2.6)
. . 1.
. ,
-
,
.
.
, 1−5 -
, -
.
, -
, , -
. , -
.
,
.
. -
, , -
,
. -
.
|
|
. -
, , -
,
. -
: (\). -
,
, (2.7)
() ≠ 0.
,
:
(\)
, (2.8)
() ≠ 0.
(2.7.) (2.8) -
:
( × ) = () × (\) = () × (\), (2.9)
. . -
-
, .
(2.9),
1, 2, 3:
( 1 × 2 × 3) = (( 1 × 2) × 3) =
= ( 1 × 2) × ( 3 \ 1 × 2) = (2.10)
= ( 1) × ( 2 \ 1) × ( 3 \ 1 × 2)
(2.10) ( 3 \ 1 × 2) -
3, 1 2.
, -
(2.10) .
( 1 × 2 × 3 × n) = ( 1) × ( 2 \ 1) ×
× ( 3 \ 1 × 2) × × (n\ 1 × 2 × 3 × × n -1)
(2.11)
-
, , , .
,
, . . (\) = ().
, -
, , . .
(\) = ().
. , -
.
,
(2.9)
( × ) = () × (). (2.12)
. . -
.
. 1, 2, 3... n -
, -
.
(2.11)
:
( 1 × 2 × 3 × × n) = ( 1) × ( 2) × ( 3) × × (n),
(2.13)
. .
.
2.2
, -
70 90 -
. 3 -
. , ,
, .
3 :
1 = { }.
2 \ 1 = {
1}.
3 \ 1 × 2 = { -
1 2}.
(2.10)
( 1); ( 2 \ 1); ( 3 \ 1 × 2)
(2.4).
-
.
,
-
.
-
.
2.1.
-
, . .
( + ) = () + () ( × ) (2.14)
,
, [1, 8,
25]. (2.14),
1, 2, 3:
( 1 + 2 + 3) = ( 1 + 2) + ( 3) −
− (( 1 + 2) × 3) = ( 1) + ( 2) −
− (1 × 2) + (3) − ( (1 × 3) +
+ (2 × 3)) = (1) + (2) + (3) − (1 × 2) −
− (1 × 3) − (2 × 3) + (1 × 2 × 3). (2.15)
|
|
, -
.
( 1 + 2 + 3 + + n) = ( 1) +
+ ( 2) + ( 3) + + (n) ( (1 × 2) +
+ ( 1 × 3) + + (n -1 × n)) +
+ ( 1 × 2 × 3) + ( 1 × 2 × 4) + +
+ (n -2 × n -1 × n)) + + (-1) n -1 ( 1 × 2 × × n) (2.16)
n (2.16)
, (2.17)
, Ai.
1, 2,... n , -
(2.17)
. (2.18)
2.3. .
-
24 .
,
.
, . . -
,
.
(2.6) (1 − 1/36). ,
24 -
(2.13)
(1 − 1/36)24 ≈ 0,507.
(2.18) , -
24 ,
1 − (1 − 1/36)24 ≈ 1 − 0,507 = 0,493.
-
. -
, -
.
-
X, Y, Z, , -
x 1, x 2, , y 1, y 2,..., z 1, z 2,
, -
.
:
1) ; -
; -
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
2) ; Y -
, ; -
, -
.
3) ;
Z ,
;
0Z, Z > 0.
,
:
( 1 2), - -
, -
( 3), -
, .
, -
.
, -
, , -
-
. ,
, , [8].
--
, . . = ϕ ( ω ), ωεΩ; Ω
. -
,
ϕ ( ω ).
, ,
.
, -
, -
: , , , -
,
.
, , -
, ,
(-
) .
. -
(, ,
), -
, .
. -
.
.
,
:
1, 2, 3..., n, :
1, 2, 3..., n, i = P { X = i } , -
i.
:
1 2 3 n
1 2 3 n
{ = i },, n
,
. . -
.
.
, -
(. 2.7).
,
.
,
, -
, -
.
. -
, -
, , . .
F (x) = P { X < x }. (2.19)
F (x)
. (2.19), -
, X -
, . 2.8.
x
X < x
x
. 2.8
P
Pne1
0 xn e1 xn x
P2
Pn
P1
P3
x 3 x 2 x 1
. 2.7
-
:
1) F (x) -
, . . 2 > 1 F ( 2) ≥ F ( 1);
2) F (-∞) = 0;
3) F (+∞) = 1;
4) [ a, b ] -
, . .
{ a ≤ X ≤ b } = F (b) − F (a);
5) -
[0;1], . . 0 ≤ F (x) ≤ 1.
:
. (2.20)
(2.20) , -
F (x) . F (x) -
, (2.20) .
,
(2.20) . -
{ X = a } -
( ).
, -
,
.
, [ a, b ]
, -
. , { X = a }
, , , -
,
, .
,
, .
. (2.21)
2.4
X:
x 1 2 3 4 5
P 0,2 0,1 0,4 0,1 0,2
(2.21) -
. 2.9.
1,2
0,8
0,6
0,4
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7
F (x)
x
. 2.9
,
-
, , -
,
.
-
,
, -
, .
. -
. -
F ()
, ,
. -
. 2.10.
F (x)
0,8
0,6
0,4
0,2
x
. 2.10
F () ,
-
, . . P { = a } = 0 ∀ a. -
-
( , ), -
f (x).
, . .
. (2.22)
f () -
. -
(. 2.11).
f (x)
x dx x
. 2.11
. 2.11 d , -
. -
d
f () d. f () d
x -
. -
:
1. f () ,
. . f (x) ≥ 0.
2. ,
, . .
. (2.23)
3.
(;b) -
:
. (2.24)
-
{X = } , -
(2.24).
4.
:
. (2.25)
(2.24). ,
,
-
X.
-
. , ,
-
.
.
, -
-
. -
.
,
.
, , .
v ,
X,
-
, . .
. (2.26)
M [ ] , m, m.
, 2.4 :
M [ ] = 1 × 0,2 + 2 × 0,1 + 3 × 0,4 + 4 × 0,1 + 5 × 0,2 = 3.
X , -
. (2.27)
-
.
-
-
. -
.
-
, . ., ,
Pi f (x)
. Mo. 2.4
3, . . Mo = 3.
, -
, ,
(. 2.12).
x
f(x)
. 2.12
, , ,
, .
, -
. (2.28)
0,
-
1/2 ( 2.13).
f(x)
Me x
1/2 1/2
. 2.13
,
, .
-
.
k- X
k - -
, . .
α k = M[ Xk ]. (2.29)
,
k-
. (2.30)
,
. (2.31)
(2.30) (2.31) , -
, . .
α1 = M[ X ].
, -
, . . -
. -
, . .
-
.
k X -
k- , . .
. (2.32)
,
k- -
, (2.33)
,
. (2.34)
-
, . .
μ1 = M [ X − M [ X ]] = 0.
. , -
:
μ1 = α2 − (M [ X ])2 = M [ X 2] − (M [ X ])2. (2.35)
μ2.
μ2 = D [ X ] = Dx.
2.32
D [ X ] = M [(X − M [ X ])2]. (2.36)
-
.
-
. (2.33) (2.34)
, -
, (2.37)
. (2.38)
(2.35).
-
,
, ,
. -
, -
(), σ[ X ] = σ x.
,
. (2.39)
M [ X ] σ[ X ] X, -
.
X
M [ X ] } 3σ[ X ]. (2.40)
(2.40) -
. -
-
. (2.40a)
, 2.4 :
= (1 − 3)2 × 0,2 + (2 − 3)2 × 0,1 +
+ (3 − 3)2 × 0,4 + (4 − 3)2 × 0,1 + (5 − 3)2 × 0,2 =
= 0,8 + 0,1 + 0 + 0,1 + 0,8 = 1,8;
;
.
.
() -
. , -
, -
,
, -
.
, ,
μ3 (σ[ X ])3
.
. (2.41)
Ax ,
(. 2.14).
-20 0 20 40 60 80 100
Ax > 0
Ax < 0
f (x)
x
. 2.14
-
.
. (2.42)
3 , -
, -
, , , -
.
,
Ex > 0, , Ex < 0 (. 2.15).
Ex > 0
Ex = 0
Ex < 0
f(x)
x
. 2.15