3.5.1. Методы построения математических моделей
При построении математических моделей систем управления будем исходить из уровня описания САУ “система - устройство – элемент” [18].
Наибольшие трудности возникают при построении математических моделей объекта управления.
Это связано с тем, что необходим учет физических процессов и явлений в этих объектах.
Различают:
- графические;
- аналитические;
- численные
методы построения математических моделей САУ.
Графические методы используются при построении математических моделей на верхнем уровне их описания в виде структурных схем и их графовых эквивалентов. В этом случае САУ представляется как сложная система, состоящая из устройств и элементов. Внутренне содержание устройств обычно отражается типовыми звеньями.
При аналитическом построении математических моделей исходными являются:
- общие законы физики (вообще природы);
- результаты обобщения опыта.
Основные законы – это закон сохранения энергии, массы, импульса и др. и вытекающие из них вариационные принципы (наименьшего действия), непрерывности материальных потоков, теплового баланса и др.
приложение этих принципов приводит к тому или иному физическому устройству приводит к различным выражениям.
Численные методы формирования включают в себя последовательность операций по обработке и анализу априорной и апостиорной числовой информации об объекте.
В результате анализа получается структура и параметры математической модели объекта.
При этом обычно имеет место следующая последовательность операций.
1. Задается модель зависимости между входными и выходными переменными в статике.
Проводится факторный анализ априорных и апостиорных данных с целью отсеивания несущественных переменных в этих зависимостях.
Под факторным анализом понимается приближенная оценка параметров и коэффициентов уравнений в зависимости от выбранной меры точности совпадения экспериментальных и теоретических данных.
2. Проводятся эксперименты по определению реакции системы на воздействия по времени.
3. Строятся оценки данных характеристик объекта по времени.
4. Стоится математическая зависимость между выходными и входными переменными в динамике.
Эти операции методики построения математической модели, составляющие разделы теории САУ, известных как идентификация системи устройств.
Под идентификацией понимается построение математической модели объектов по априорной и апостиорной информации и, в частности, по входным и выходным сигналам.
Наиболее распространены методы параметрической идентификации, когда структура математической модели уже задана, а требуется найти только ее параметры в соответствии с заданными критериями адекватности математической модели и объекта.
Определение математической модели динамики системы сводится к идентификации оператора L в выражении
Y(t) = L[X(t), L(t), C(t)],
где Y(y1, y2,…, yn), X(x1, x2,…, xl) – векторы выходных и входных сигналов;
L(l1, l2,…, lm) –вектор параметров системы;
С(с1, с2,…, сk) –вектор параметров системы;
L – численный оператор.
На практике методы идентификации разработаны в основном для линейных детерминированных и стационарных стохастических систем.
Большое число этих методов базируется на уравнении Н. Винера
где - неизвестная весовая векторная функция системы (переходная функция на ступенчатое воздействие);
- взаимно – корреляционная вектор-функция стационарных случайных процессов на входе и выходе этой системы.
Перспективными и плодотворными являются методы идентификации оператора L, построенные на принципе настраиваемой модели.
В схемах с настраиваемой моделью структура модели предполагается известной, а настройке подвергаются параметры модели.
 |
Основная идея принципа сводится к следующей схеме, представленной на рисунке 3.10.
Приведенная схема отражает общий случай, включает широкий набор вариантов, которые отличаются организацией критерия идентификации.
Выбор критерия – это сложная задача, во многом определяющая алгоритмы технической реализации схем.
Наиболее распространены выражения критериев в виде функционалов:
-
 |
интеграл квадрата ошибки
- интеграл от ошибки с весовой функцией времени
- интегральный критерий вида
 |
Наиболее целесообразным способом построения математической модели САУ является сочетание аналитических методов с численными.
При этом аналитическими методами строится возможно более полная математическая модель, а с помощью численных методов идентификации осуществляется количественная оценка параметров модели и обеспечивается адекватность ее реальному объекту.
При этом процедура построения математической модели состоит из трех этапов:
- вывод полой математической модели в аналитической форме на основе классических принципов;
- упрощение и преобразование математической модели в соответствии с назначением и особенностями модели;
- параметрическая идентификация упрощенной модели по результатам экспериментов и испытаний.
3.5.2. Математические модели с точки зрения САПР
Математическое обеспечение САПР включает в себя математические модели объектов проектирования, методы и алгоритмы.
 |
Математические модели - это система математических соотношений: аналитических в виде уравнений, графических в виде структурных схем или графов, табличных в виде таблиц. Соответствующая условная схема такого деления моделей представлена на рисунке 3.11.
Метод (греч. methodos) - путь исследования задачи, включающая в себя совокупность теории и приемов, содержащих логику и обоснование решения задачи.
Из метода вытекает алгоритм. Алгоритм (лат. algorithmi) – от арабской интерпретации имени узбекского математика IX века в Аль-Хорезми, означает совокупность правил, определяющих процедуру решения задачи по заданным исходным данным, которая заканчивается результатом, решением.
Вычислительный алгоритм - строится по известному алгоритму и представляет собой последовательность арифметических, логических и аналитических операций, составленных с учетом возможностей реализации на ЭВМ и оценкой погрешностей вычислений.
На математическом обеспечении как на фундаменте строятся основные компоненты САПР – пакеты прикладных программ (ППП).
 |
Весь объем работ по созданию ППП можно представить условно в виде следующей “пирамиды” (рисунок 3.12).
Математическую модель также можно классифицировать по степени детализации в соответствии с трехуровневой иерархической схемы (см. рисунок 3.13).
На самом верхнем уровне наибольшее распространение в теории получили математические модели в виде структурных схем и графов.
Структурная схема - это ее графическое изображение в виде соединения звеньев.
 |
Типовая структурная схема представлена ниже на рисунке 3.14.
Она содержит:
1 – сумматоры (места суммирования одинаковых физических величин);
2 – динамические звенья в виде прямоугольников, свойсва звеньев описываются дифференциальными, алгебраическими уравнениями;
3 – узел (место расщепления сигнала);
4 – линии (условная связь между какими-либо элементами; стрелка означает, что обратное влияние звеньев друг на друга практически отсутствует, либо оно пренебрежительно мало).
Удобным для исследования отображением структурных схем является ортиентированные графы, которые оболадают следующими свойствами:
- дуги графов изображают звено и характеризуются опенратором звена – уравнением звена, передаточной функцией;
- каждой вершине ставится одна из переменных, и в соответствии с правилами работы с графами вершина, к которой подходит одна или несколько дуг, соответствует переменной, равной выходу одной дуги или сумме выходов дуг. Если из вершины исходит несколько дуг, то входная величина для всех этих дуг одно и то же. Граф, эквивалентный структурной схеме, представленной на рисунке 3.14, приведен на рисунке 3.15.
3.5.3. Методы упрощения моделей
Основная цель при построени математческтх моделей – это получение математической модели, соответствующей целям исследования, достигается путем упрощения и преобразования полной ММ.
Упрощение ММ – это проектная процедура П преобразования исходной математической модели М в упрощенную модель Мi, эквивалентную М с точки зрения цели исследования.
Можно выделить основные подходы к решению задачи упрощения ММ. Это:
- редукция;
- декомпозиция.
Редукция
Схема процедуры выглядит следующим образом
,
.
Исходная модель М последовательно редуцируется к упрощенным моделям Мi меньшей сложности 
.
Эта процедура предполагает исключения, не влияющие на результат исследования и расчетов составляющих математической модели.
Декомпозиция
Схему процедуры можно представить следующим образом:
, 
,
где 
- некоторая мера сложности ММ (например, порядок системы уравнений, число слагаемых, время счета и т.д.)
Эта операция предполагает возможность разбиения исходной ММ на ряд частных моделей.
Эти подходы могут быть реализованы при помощи ряда методов.
Метод возмущений.
Основой метода является положение, что некоторые динамические связи в модели могут игнорироваться, т.е. исходная модель может апроксимироваться моделью, структура которой проще.
Пример
Пусть система описывается следующим матричным уравнением в пространстве состояний
,
где A, Z, B, U – матрицы.
Для простоты рассмотрим случай уравнений второго порядка. Пусть имеем
,
где 
, 
- фазовые координаты;
- элементы матрицы состояния;
, 
- элементы матрицы управления;
, 
- элементы вектора управления;
>0 – некоторый параметр.
Представленному матричному уравнению соответствует следующая система уравнений:
Если параметр мал (т.е. 
), то система распадается на 2 независимые подсистемы меньшей размерности (первого порядка).
Метод линеаризации
Одна из особенностей математических моделей в общем случае – это их нелинейность.
Поэтому наиболее эффективный метод упрощения моделей в этом случае – метод линеаризации.
Пример.
Для нелинейной системы часто удается подобрать некоторую линейную модель, достаточно адекватно описывающую свойства исходной САУ. Процедуру замены нелинейной модели САУ некоторой приближенной линейной моделью называют линеаризацией.
Существует достаточно большое количество видов линеаризации.
Наиболее простой вариант линеаризации нелинейной модели - это построение линейного приближения в малой окрестности некоторой опорной точки путем разложения в степенной ряд.
Пусть САУ описывается моделью в виде нелинейного дифференциального уравнения
, (3.20)
где 
- входное воздействие, 
- выходная величина. Здесь же в качестве
(3.21)
обозначены соответствующие производные функций 
и 
.
Если функцию (3.20) можно разложить в степенные ряды, то линеаризация осуществляется с использованием формулы для линейного приращения
. (3.22)
Линеаризация производится вблизи какой-то опорной точки в ее малой окрестности. С помощью линейной функции (3.22) уравнение (3.20) превращается в линейное дифференциальное уравнение вида
=
= 
. (3.23)
Звездочка в частных производных означает, что их необходимо вычислять в какой-то опорной точке
(3.24)
с постоянными координатами
В качестве примера линеаризуем нелинейное дифференциальное уравнение
.
Находим частные производные
, 
, 
, 
, 
.
Возьмем в качестве примера опорную точку
.
В этой точке частные производные имеют следующие значения:
, 
, 
, 
, 
.
Как следствие, исходное уравнение после линеаризации принимает общий вид:
= 
,
а с учётом значений частных производных
.
Полученное линейное дифференциальное уравнение не может точно описывать свойства исходной нелинейной системы во всем диапазоне изменений координат 
и 
, а справедливо только в малых окрестностях опорной точки.
Машинно-аналитический метод
Ряд преимуществ с точки зрения машинной реализации имеют методы упрощения, сводящие дифференциальные уравнения к системе конечных, в частности, алгебраических уравнений.
Один из таких методов – машинно-аналитический метод.
Сущность метода сводится к следующему.
Пусть математическая модель задана в форме:
(3.25)
где 
- заданная в области D вещественная функция от Y, Λ, t;
Y (t) = [y1(t), y1(t), …, yn(t)] - вектор-функция от фазовых координат системы;
Λ(t) = [λ1(t), λ 2(t), …, λ n(t)] - - вектор, составленный из параметров системы, включая входные сигналы и начальные условия;
- полученные на ЭВМ в результате численного решения фазовые координаты.
В соответствии с машинно-аналитическим методом “машинные решения” исходной системы аппроксимируются аналитическими функциями и представляются в виде
(3.26)
где S(s1, s2,..., sn) – вектор, составленный из характеристик процессов – параметров аппроксимирующих функций φ (t,S); например, вектор из n и Ω в функциях ent, sin (Ωt), entsin (Ωt).
По исходным уравнениям (3.25) и аппроксимациям машинных решений (3.26) в результате определенного процесса последовательных приближений в аналитическом виде получают зависимость
Ф(S, Λ, t) = 0, (3.27)
связывающую характеристики процесса в системе с ее параметрами. Эта зависимость называется определяющим уравнением.
Уравнения (3.27) могут быть также использованы для упрощения исходных дифференциальных уравнений (3.25) путем их редукции – исключения малозначащих в смысле цели их применения членов уравнений, параметров.
В этом случае по зависимостям (3.27) (определяющим уравнениям) при условии
строится матрица чувствительности характеристик процессов к изменению параметров Λ.
Для этого найдем дифференциал 
путем дифференцирования выражения (3.27) (определения полной производной):
.
Отсюда получим
. (3.28)
Так как параметры САУ имеют различные размерности и значительные диапазоны изменения, то удобнее пользоваться логарифмическими коэффициентами чувствительности
и 
.
В соответствии с матрицей чувствительности (3.28) осуществляется редукция исходной модели (3.25) и построение k -го приближения упрощенной эквивалентной модели
.
При этом должны быть заданы диапазоны изменения и точность определения каждого из параметров Λ исходной системы и критерий оценки близости исходной и эквивалентной моделей.
В качестве такого критерия выбираются математическое ожидание квадрата разности векторов Y и Yэ
(3.29)
в течение заданного промежутка времени 0 ≤ t < T.
Схема операций упрощения математической модели на основе соотношений (3.25) – (3.29) может быть представлена в виде, приведенном на рисунке 3.16.
3.5.4. Методика составления уравнений динамики элементов САУ
При составлении уравнений поступают следующим образом.
1. Устанавливаются физические законы, лежащие в основе работы элементов системы. Это могут быть закон сохранения энергии, массы, импульса и др.
2. Математическое выражение соответствующего закона является исходным дифференциальным уравнением динамики рассматриваемого элемента.
3. Записываются уравнения статики или невозмущенного движения элемента, что соответствует установившемуся режиму работы элемента, который характеризуется определенными начальными значениями входного и выходного параметра.
4. Производится вычитание из уравнения динамики уравнений статики. Получается уравнение динамики в приращениях.
При составлении уравнений часто используется форма записи дифференциальных уравнений в относительных единицах (после вычитания - после процедуры по пункту 4 из приведенного выше перечня процедур). Для получения такой формы записи необходимо разделить все члены дифференциального уравнения на некоторую постоянную величину, имеющую размерность членов этого уравнения. В качестве такой постоянной величины принимают либо минимальное, либо номинальное, либо максимальное значение этой величины.
Пример.
Составить уравнение динамики электрического двигателя (очень часто является одним из исполнительных элементов САУ) в абсолютных и относительных единицах.
Из общих законов механики - из теоремы о моменте количества движения – имеем:
, (3.30)
где 
- момент количества движения;
- главный момент внешних сил.
Приведенному уравнению соответствует уравнение:
, (3.31)
где I – момент инерции;
- угловая скорость вала двигателя;
- движущий момент и момент сопротивления.
При этом:
- движущий момент
(3.32)
является функцией угловой скорости и положения регулирующего скорость вращения органа – элемента 
;
- момент сопротивления
(3.33)
есть функция от угловой скорости и постоянной составляющей момента.
В равновесном (в статическом) режиме имеем
, (3.34)
откуда
. (3.35)
Уравнение (3.31) – нелинейное. Линеаризуем его. Для этого в (3.31) функции
и 
заменяем разложением в ряд Тейлора в окрестности значений аргумента 
и 
по степеням малых отклонений 
, а полные переменные 
представим как сумму из номинальных значений и приращений:
.
В результате имеем:
(3.36)
Пренебрегая членами, содержащими малые отклонения в степени, выше первой, а также произведениями малых отклонений (эти члены являются бесконечно малыми второго и более высоких порядков) и принимая во внимание (3.34) и (3.35) последнее уравнение после введения обозначений
можно записать в виде
.
Обычно
.
Отсюда 
.
Тогда, введя дополнительное обозначение 
, уравнение электродвигателя для малых отклонений можно записать в следующем виде:
(3.37)
Получили линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Опуская знак приращения, после элементарных преобразований приходим к уравнению:
,
что представляет собой уравнение апериодического звена, весьма часто встречающегося в системах управления.
