Вычислить:
1. 
Ответ: 
2. 
Ответ: 
3. 
Ответ: 
4. 
Ответ: 
5. 
Ответ: 
6. 
Ответ: 
7. 
Ответ: 
8. 
Ответ: 
9. 
Ответ: 
10. 
Ответ: 
11. 
Ответ: 
12. 
Ответ: 
13. 
Ответ: 
14. 
Ответ: 
15. 
Ответ: 
16. 
Ответ: 
17. 
Ответ: 
18. 
Ответ: 
19. 
Ответ: 
20. 
Ответ: 
21. 
Ответ: 
22. 
Ответ: 
23. 
Ответ: 
24. 
Ответ: 
25. Используя метод интегрирования по частям, доказать, что:
а) 
;
b) 
;
c) 
.
§2. Определенный интеграл
Основные понятия и методы решения
Определенного интеграла
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x) [см. § 1]. Разобьём отрезок [a, b] произвольным образом на п частей точками 
. На каждом отрезке 
длины 
выберем произвольную точку 
. Составим сумму 
, называемую интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b].
Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] называется число равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю
максимальной из длин отрезков разбиения: 
, этот предел конечен и не зависит от способов разбиения отрезка [a, b] на части и выбора точек 
, на отрезках 
.
Определённый интеграл обозначается символом 
, где а называется нижним пределом, b называется верхним пределом, х называется переменной интегрирования, f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx называется подынтегральным выражением, [ a, b ] – отрезок интегрирования.
Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция 
. Фигура, ограниченная сверху графиком функции 
, снизу – осью Ox, сбоку прямыми x=a и x=b, называется криволинейной трапецией.
Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл равен площади «криволинейной трапеции» ограниченной функцией , осью О Y, и прямыми х=а и у=b.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то определённый интеграл существует.
Отметим, что если оставить постоянным нижний предел интегрирования а, а верхний х изменить так, что бы 
, то величина интеграла будет изменяться. Интеграл: 
, называется определённым интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х.
Теорема ( Связь между неопределённым интегралом и определённым интегралами). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция 
имеет первообразную, равную интегралу 
, и тогда согласно определению неопределённого интеграла имеет место равенство 
.
Теорема (Ньютона – Лейбница). Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то 
– это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница [4].
Основные свойства определенного интеграла:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. Если f(x) £ j(x) на отрезке [ a, b ] a < b, то 
.
5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [ a, b ], то: 
.
6. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка e такая, что 
.
7. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: 
, где равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов.
8. 
.
9. 
Методы интегрирования определенного интеграла:
