Интегрирование рациональных дробей

Основные понятия неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество всех первообразных функций F(x) + C.

Записывается это так:

Первообразной функцией для функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x) на рассматриваемом промежутке, то есть .

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Имеет место теорема: Две различные первообразные одной и той же функции, определенной в некотором промежутке, отличаются друг от друга в этом промежутке на некоторое постоянное слагаемое.

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если 1) она определена на этом множестве; 2) непрерывна в каждой точке этого отрезка, то есть справедливо равенство , где .

Теорема (условие существования неопределенного интеграла). Всякая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция имеет на этом промежутке неопределенный интеграл.

Основные теоремы (свойства неопределенного интеграла):

1. где C-const.

2. .

3. .

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

6. (Инвариантность формулы интегрирования). Если , то и , где - произвольная функция, имеющая непрерывную производную.

Ниже приводится таблица основных интегралов, которые используются при вычислениях неопределенных интегралов различных функций. Верность этой таблицы проверяется непосредственно дифференцированием.

Таблица 1.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод интегрирования основан на применении табличных интегралов, и называется непосредственным интегрированием. При этом данный интеграл может быть приведен к табличному с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла.

Примеры:

a)

b)

с) .

Замена переменной

Этот метод интегрирования основан на введении новой переменной интегрирования. Приведем пример: пусть дана сложная функция f(x), где - функция имеющая непрерывную производную . Применяется свойство инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла, получаем: .

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Примеры:

a)

 

b)

.

с) .

Первый вариант замены: = =

Второй вариант замены:

= =

d) . Первый вариант замены:

=

Второй вариант замены: =

= .

При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометрических и т.д. (интегрирование этих классов функций предложены в таблицах 3 – 7).

Интегрирование по частям

Этот метод интегрирования основан на применении формулы дифференцирования произведения d(uv)=udv+vdu и вычислении затем интеграла . Из этого равества получаем формулу интегрирования по частям: .

Примеры:

a)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть тогда . Получаем,

.

b)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

.

c)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно, .

Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:

. Тогда

.

d)

Пусть . Тогда .

Интегирируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

.

e)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда , . Следовательно,

.

Обозначается, . Тогда .

Следовательно, .

f)

Интегирируется по частям: пусть ; тогда . Следовательно,

.

g)

Интегрируется по частям: пусть тогда . Следовательно, .

Еще раз интегрируется по частям: пусть тогда . Получается,

=

= .

Обозначается, . Тогда .

Следовательно,

h)

Интегрируется по частям: пусть тогда . Следовательно,

.

Еще раз интегрируется по частям: пусть тогда . Получается,

Обозначают, . Тогда

Следовательно,

k)

Интегрируется по частям: пусть

тогда .

Следовательно,

Приведем в таблице 2 некоторые распространённые случаи использования метода интегрирования по частям.

Таблица 2.

вид интеграла	метод интегрирования
, , .	За u принимается многочлен , а за dv все остальные подынтегральные выражения.
, , , , .	За dv принимается , а за u все остальные подынтегральные выражения.
, , , .	данные бесконечные интегралы, решаются как уравнения, после двукратного интегрирования по частям.
, , a > 0.	За dv принимается dх, а за u остальные подынтегральные выражения.

 

Интегрирование рациональных дробей

Дробно-рациональной функцией называется функция вида: , где - многочлен степени m, - многочлен степени n.

Замечание: Если m < n, то рациональную дробь называется правильной. Если m ³ n, то рациональную дробь называется неправильной.

Примеры:

a) = ;

b)

.

c)

d)

.

Интеграл вычисляется с помощью:

· рекуррентной формулы: Она выведена в курсе математического анализа:

Следовательно,

.

· интегрирования по частям:

 

В таблице 3 приведены общие виды правильных рациональных дробей и способы их интегрирования с помощью замены переменной.

Таблица 3.

№	подынтегральное выражение	преобразования	замена	dx
I.
II.
III.
IV.				и раскладывается на сумму двух интегралов
V.
		и применяется рекуррентная формула

m, n – натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и D <0.

 

Подынтегральные выражения не вошедшие в таблицу 3 интегрируются с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Теорема (метод неопределенных коэффициентов). Если - правильная рациональная дробь, где знаменатель имеет вид:

P(x) = (x - a)^a…(x - b)^b(x² + px + q)^l…(x² + rx + s)^m ) (причем множители типа x²+px+q неразложимы на действительные множители первой степени), то эта дробь может быть разложена на сумму простейших дробей:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

Примеры:

a) =

Подынтегральное выражение представляется в виде суммы простейших дробей .

После освобождения от знаменателей, получается:

.

Сгруппировываются члены с одинаковыми степенями:

В итоге получается:

b) .

Так как дробь неправильная, то выделяется целая часть:

6x⁵ – 8x⁴ – 25x³ + 20x² – 76x – 7 3x³ – 4x² – 17x + 6

6x⁵ – 8x⁴ – 34x³ + 12x² 2x² + 3

9x³ + 8x² – 76x - 7

9x³ – 12x² – 51x +18

20x² – 25x – 25

Следовательно,

Для нахождения корней уравнения применяем схему Горнера:

коэффициенты перед x
ре ше ние			– 4	– 17
			– 2	–
– 2		– 1	–	–
1/3		–	–	–

 

Получаются: .

Следовательно, корни этого уравнения: 3; -2; 1/3.

Отсюда .

Получившееся подынтегральное выражение раскладывается на элементарные дроби:

Применяем метод произвольных значений, суть которого состоит в том, что в полученное выражение подставляем поочередно (по числу неопределенных коэффициентов) значения х. Для упрощения вычислений принимают точки, при которых знаменатель дроби равен нулю. В нашем случае: 3, -2, 1/3. Получаем:

В итоге получаем:

=