Лекции.Орг
 

Категории:


ОБНОВЛЕНИЕ ЗЕМЛИ: Прошло более трех лет с тех пор, как Совет Министров СССР и Центральный Комитет ВКП...


Нейроглия (или проще глия, глиальные клетки): Структурная и функциональная единица нервной ткани и он состоит из тела...


Макетные упражнения: Макет выполняется в масштабе 1:50, 1:100, 1:200 на подрамнике...

Д/у первого порядка с разделёнными и разделяющимися переменными



Загрузка...

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка существуют такие, в которых возможно переменные x и y разнести по разные стороны знака равенства. В уравнениях вида переменные уже разделены, а в ОДУ переменные разделяются посредством преобразований. Кроме того, некоторые дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными после введения новых переменных.

В этой статье сначала рассмотрим метод решения уравнений с разделенными переменными, далее перейдем к уравнениям с разделяющимися переменными и закончим дифференциальными уравнениями, сводящимися к уравнениям с разделяющимися переменными. Для пояснения теории будем подробно разбирать решения характерных примеров и задач.

  • Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .
  • Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .
  • Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , a ≠ 0, b ≠ 0.
  • Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными или .
  • Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными .

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .

Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.

Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство . Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными .

Решение.

Проинтегрируем обе части равенства: . По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных:

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

Мы пришли к неявно заданной функции , которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. Итак, , где . То есть, функция является общим решением исходного дифференциального уравнения.

Замечание.

Ответ можно записать в любом из трех видов или , или . Но имейте в виду, что многие преподаватели наряду с Вашим умением решать дифференциальные уравнения хотят также проверить умение брать интегралы и преобразовывать выражения. Так что, если есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно заданной функции Ф(x, y) = 0.





Дата добавления: 2015-11-23; просмотров: 390 | Нарушение авторских прав


Рекомендуемый контект:


Похожая информация:

  1. Анализ взаимосвязи между технологическими переменными, определение основных требований к ведению процессов, формулирование критериев качества и целей управления
  2. Апериодическое (инерционное) звено первого порядка
  3. Беседа на первую часть первого псалма
  4. В случае смерти ребенка первого месяца жизни в дате рождения
  5. Вечный двигатель (perpetuum mobile) первого рода невозможен. В любой изолированной системе общее количество энергии постоянно
  6. Виды административных правонарушений против порядка управления
  7. Вычисления определителей второго порядка
  8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
  9. Закономерность изменения технического состояния автомобиля по его наработке. Закономерность ТЭА первого вида
  10. Именем Нейтрального Купола, приказывая вам сдаться! – раздалось за спинами капитана и его первого помощника
  11. Имя первого шамана и мудрого наставника древних казахов, который в поисках


Поиск на сайте:


© 2015-2019 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.003 с.