Д/у первого порядка с разделёнными и разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка существуют такие, в которых возможно переменные x и y разнести по разные стороны знака равенства. В уравнениях вида переменные уже разделены, а в ОДУ переменные разделяются посредством преобразований. Кроме того, некоторые дифференциальные уравнения сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными после введения новых переменных.

В этой статье сначала рассмотрим метод решения уравнений с разделенными переменными, далее перейдем к уравнениям с разделяющимися переменными и закончим дифференциальными уравнениями, сводящимися к уравнениям с разделяющимися переменными. Для пояснения теории будем подробно разбирать решения характерных примеров и задач.

• Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .
• Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными .
• Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , a ≠ 0, b ≠ 0.
• Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными или .
• Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными .

Дифференциальные уравнения с разделенными переменными .

Дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными переменными.

Название этого вида дифференциальных уравнений достаточно показательно: выражения, содержащие переменные x и y, разделены знаком равенства, то есть, находятся по разные стороны от него.

Будем считать, что функции f(y) и g(x) непрерывны.

Общим интегралом уравнения с разделенными переменными является равенство . Если интегралы из этого равенства выражаются в элементарных функциях, то мы можем получить общее решение дифференциального уравнения как неявно заданную функцию Ф(x, y) = 0, а иногда получается выразить функцию y в явном виде.

Пример.

Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными .

Решение.

Проинтегрируем обе части равенства: . По сути, мы уже получили общее решение исходного дифференциального уравнения, так как свели задачу решения дифференциального уравнения к уже известной задаче нахождения неопределенных интегралов. Однако, эти неопределенные интегралы выражаются в элементарных функциях, и мы можем взять их, используя таблицу первообразных:

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные.

Мы пришли к неявно заданной функции , которая является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Ответ можно оставить в таком виде. Но в нашем случае искомую функцию y можно выразить явно через аргумент x. Итак, , где . То есть, функция является общим решением исходного дифференциального уравнения.

Замечание.

Ответ можно записать в любом из трех видов или , или . Но имейте в виду, что многие преподаватели наряду с Вашим умением решать дифференциальные уравнения хотят также проверить умение брать интегралы и преобразовывать выражения. Так что, если есть возможность, старайтесь ответ давать в виде явной функции y или в виде неявно заданной функции Ф(x, y) = 0.