Вычисление площади фигуры является одной из наиболее не простых проблем теории площадей. В школьном курсе геометрии мы научились находить площади основных геометрических фигур, например, круга, треугольника, ромба и т.п. Однако намного чаще приходится сталкиваться с вычислением площадей более сложных фигур. При решении подобных задач приходится прибегать к интегральному исчислению.
В этой статье мы рассмотрим задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, причем подойдем к ней в геометрическом смысле. Это позволит нам выяснить прямую связь между определенным интегралом и площадью криволинейной трапеции.
Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и не меняет знак на нем (то есть, неотрицательная или неположительная). Фигуру G, ограниченную линиями y = f(x), y = 0, x = aи x = b, называют криволинейной трапецией. Обозначим ее площадь S(G).
Подойдем к задаче вычисления площади криволинейной трапеции следующим образом. В разделе квадрируемые фигуры мы выяснили, что криволинейная трапеция является квадрируемой фигурой. Если разбить отрезок [a; b] на n частей 
точками 
и обозначить 
, а точки 
выбирать так, чтобы 
при 
, то фигуры, соответствующие нижней и верхней суммам Дарбу, можно считать входящей P и объемлющей Q многоугольными фигурами для G.
Таким образом, 
и при увеличении количества точек разбиения n, мы придем к неравенству 
, где 
- сколь угодно малое положительное число, а s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу для данного разбиения отрезка [a; b]. В другой записи 
. Следовательно, обратившись к понятию определенного интеграла Дарбу, получаем 
.
Последнее равенство означает, что определенный интеграл 
для непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.
То есть, вычислив определенный интеграл , мы найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = f(x), y = 0, x = a и x = b.
31.Методы интегрирования определенного интеграла. Примеры
1.Метод интегрирования подстановкой или замены переменной.
Суть метода: Выразить через новую переменную такую часть подинтегральной функции, дифференциал от которой давал бы оставшуюся часть подинтегрального выражения.
Dy=y’dx
∫sinx cosx dx=/sinx=t dsin=d(t) sinx’ – dx=t’*dt cosxdx=dt/ =∫tdt =t2/2+C=sin2x/2 +C
2.Метод интегрирования по частям
Этот метод применяется если подинтегральная функция содержит производную, логарифмы или обратные тригонометрические функции.
В некоторых случаях формулу интегрирования по частя необходимо применить несколько раз. Также возможен случай когда интеграл Vdy можно посчитать заменой переменной.
