Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒифференциал функции, его геометрический смысл




ѕон€тие и геометрический смысл дифференциала

ќпределение. ƒифференциалом функции в некоторой точке x называетс€ главна€, линейна€ часть приращени€ функции.

ƒифференциал функции y = f(x) равен произведению еЄ производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Ёто записываетс€ так:

или

или же

√еометрический смысл дифференциала. ƒифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведЄнной к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок).

ѕочему дифференциал можно использовать в приближенных вычислени€х?

ƒифференциал, €вл€етс€ главной, линейной относительно частью приращени€ функции; чем меньше , тем большую долю приращени€ составл€ет эта часть. ¬ этом можно убедитьс€, мысленно передвига€ перпендикул€р, опущенный из точки P (см. рисунок) к оси Ox, ближе к началу координат. ѕоэтому при малых значени€х (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е.

ќ разных формах записи дифференциала

ƒифференциал функции в точке x и обозначают

или

—ледовательно,

(1)

или

, (2)

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению еЄ производной на приращение независимой переменной.

«амечание. Ќужно помнить, что если x Ц исходное значение аргумента, а - наращенное значение, то производна€ в выражении дифференциала берЄтс€ в исходной точке x; в формуле (1) этого не видно из записи.

ƒифференциал функции можно записать в другой форме:

(3)

или

(4)

—войства дифференциала

¬ этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значени€х еЄ аргументов.

ƒифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

(— Ц посто€нна€ величина) (5)

(6)

(7)

(8)

(9)

‘ормулы (5) Ц (9) получаютс€ из соответствующих формул дл€ производной умножением обеих частей каждого равенства на .

ѕрименение дифференциала в приближенных вычислени€х

”становленное во втором параграфе приближенное равенство

или

(10)

позвол€ет использовать дифференциал дл€ приближенных вычислений значений функции.

«апишем приближенное равенство более подробно. “ак как

а

то

или

(11)

јбсолютна€ и относительна€ погрешности приближенных вычислений

ѕользу€сь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. — этой целью вычисл€ют его абсолютную и относительную погрешности.

јбсолютна€ погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:

(12)

ќтносительной погрешностью приближенного числа называетс€ отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

(13)

≈сли точное число неизвестно, то

(14)

»ногда, прежде чем применить формулу (11), требуетс€ предварительно преобразовать исходную величину.  ак правило, это делаетс€ в двух цел€х. ¬о-первых, надо добитьс€, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычислени€. ¬о-вторых, желательно, чтобы величина вычисл€лась просто.

 


 

24. ѕриложение дифференциала функции к приближенным вычислени€м

ѕрименение дифференциала к приближенным вычислени€м

ѕон€тие дифференциала подсказывает, что если какой-Ћибо процесс по характеру своего изменени€ близок к линейному, то приращение функции мало отличаетс€ от дифференциала.  роме того, если функци€ имеет конечную производную в некоторой точке х, то ее приращение и дифференциал также бесконечно малы при , стрем€щемс€ к нулю:

,

“ак как дифференцируема€ функци€ непрерывна,

ѕотому что произведение ограниченной функции на бесконечно малую при DX, стрем€щемс€ к нулю, есть функци€ бесконечно мала€.

Ѕолее того, эти две бесконечно малые функции при эквивалентны:

Ёквивалентность и дает возможность при малых приращени€х аргумента приближенно считать

»ли

„то может дать эта формула? ѕусть в некоторой точке сравнительно просто вычисл€ютс€ значени€ и . “огда в другой точке , отсто€щей недалеко от , возможно представление:

(11. 16)

«десь остаетс€ открытым вопрос о точности получаемого результата. Ёто обсто€тельство снижает ценность данной формулы приближенного вычислени€, но в основном она полезна и широко примен€етс€ на практике.

–ассмотрим пример. ¬ пр€моугольном треугольнике катеты a=5 м и b=12 м.  акой будет гипотенуза этого треугольника, если катет a уменьшить на 0,2 м (рис. 11.5, a)?

Ќайдем первоначальную длину гипотенузы:

.

ѕосле уменьшени€ катета a на 0,2 м гипотенуза будет равна (рис. 11.5, a)

ѕрименим теперь формулу (11.16) дл€ приближенного нахождени€ с в св€зи с уменьшением катета a, рассматрива€ функцию вида:

(B=Const);

;

¬ обоих случа€х мы получили приближенное значение искомой величины. Ќо в первом случае погрешность возникает в результате приближенных вычислений, а во втором, сравнительно более простом, Ц ¬ св€зи с применением приближенной формулы (к ней также может добавитьс€ погрешность, вызванна€ приближенными вычислени€ми). ќтметим, что при уменьшении катета a Ќа 0,2 м гипотенуза с уменьшилась примерно на 0,08 м, а полученные нами приближенные значени€ при этом отличаютс€ лишь на 0,001 м.

–ассмотрим другую ситуацию: в этом же треугольнике уменьшим гипотенузу с на 0,2 м, оставив катет b без изменени€ (рис. 11.5, б). ќпределим, как в этом случае изменитс€ катет A:

 

25.ѕриложение производной к исследованию функций и построению графика

≈сли на некотором промежутке график функции представл€ет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то така€ функци€ называетс€ непрерывной на этом промежутке. —уществуют также функции, которые непрерывными не €вл€ютс€. ¬ качестве примера рассмотрим график функции, котора€ на промежутках [a; c] и [с; b] непрерывна, но в точке
х = с разрывна и поэтому на всем отрезке [a; b] не €вл€етс€ непрерывной. ¬се функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, Ц это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены.

ќтметим, что если на некотором промежутке функци€ имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна.

ќбратное утверждение €вл€етс€ неверным. ‘ункци€, котора€ непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Ќапример, функци€
у = |log 2 x| непрерывна на промежутке х > 0, но в точке х = 1 не имеет производной, в силу того что в этой точке график функции касательной не имеет.

–ассмотрим построение графиков с помощью производной.

ѕример 1.

ѕостроить график функции f(x) = x3 Ц 2x2 + x.

–ешение.

1) Ёта функци€ определена при всех х И R.

2) Ќайдем промежутки монотонности рассматриваемой функции и ее точки экстремума с помощью производной. ѕроизводна€ равна f '(x) = 3x2 Ц 4x + 1. Ќайдем стационарные точки:
3x2 Ц 4x + 1 = 0, откуда х1 = 1/3, х2 = 1.

ƒл€ определени€ знака производной разложим квадратные трехчлен 3x2 Ц 4x + 1 на множители:
f '(x) = 3(х Ц 1/3)(х Ц 1). —ледовательно, на промежутках х < 1/3 и х > 1 производна€ положительна; значит, функци€ возрастает на этих промежутках.

ѕроизводна€ отрицательна при 1/3 < х < 1; следовательно, функци€ убывает на этом интервале.

“очка х1 = 1/3 €вл€етс€ точкой максимума, так как справа от этой точки функци€ убывает, а слева Ц возрастает. ¬ этой точке значение функции равно f (1/3) = (1/3)3 Ц 2(1/3)2 + 1/3 = 4/27.

“очкой минимума €вл€етс€ точка х2 = 1, так как слева от этой точки функци€ убывает, а справа возрастает; ее значение в этой точке минимума равн€етс€ f (1) = 0.

3) ѕри построение графика обычно наход€т точки пересечени€ графика с ос€ми координат. “ак как f(0) = 0, то график проходит через начало координат. –еша€ уравнение f(0) = 0, находим точки пересечени€ графика с осью абсцисс:

x3 Ц 2x2 + x = 0, х(x2 Ц 2х + 1) = 0, х(х Ц 1) 2 = 0, откуда х = 0, х = 1.

4) ƒл€ более точного построение графика найдем значени€ функции еще в двух точках: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) »спользу€ результаты исследовани€ (пункты 1 Ц 4), строим график функции у = x3 Ц 2x2 + x.

ƒл€ построени€ графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1.

“аким образом, при исследовании свойств функции необходимо найти:

1) область ее определени€;

2) производную;

3) стационарные точки;

4) промежутки возрастани€ и убывани€;

5) точки экстремума и значени€ функции в этих точках.

–езультаты исследовани€ удобно записывать в виде таблицы. «атем, использу€ таблицу, стро€т график функции. ƒл€ более точного построени€ графика обычно наход€т точки его пересечени€ с ос€ми координат и Ц при необходимости Ц еще несколько точек графика.

≈сли же мы сталкиваемс€ с четной или нечетной функцией, то дл€ построени€ ее графика достаточно исследовать свойства и построить ее график при х > 0, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат (начала координат). Ќапример, анализиру€ функцию f(x) = х + 4/х, мы приходим к выводу о том, что данна€ функци€ нечетна€: f(-x) = -х + 4/(-х) = -(х + 4/х) = -f(x). ¬ыполнив все пункты плана, строим график функции при х > 0, а график этой функции при х < 0 получаем посредством симметричного отражени€ графика при х > 0 относительно начала координат.

ƒл€ краткости решени€ задач на построение графиков функции большую часть рассуждений провод€т устно.

“акже отметим, что при решении некоторых задач мы можем столкнутьс€ с необходимостью исследовани€ функции не на всей области определени€, а только на некотором промежутке, например, если нужно построить график, скажем, функции f(x) = 1 + 2x2 Ц x4 на отрезке [-1; 2].

26.ѕервообразна€ функции. Ќеопределенный интеграл и его свойства

ќпределение первообразной.

ѕервообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называетс€ така€ функци€ F(x), что выполн€етс€ равенство дл€ любого х из заданного промежутка.

≈сли прин€ть во внимание тот факт, что производна€ от константы — равна нулю, то справедливо равенство . “аким образом, функци€ f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, дл€ произвольной константы —, причем эти первообразные отличаютс€ друг от друга на произвольную посто€нную величину.

ќпределение неопределенного интеграла.

¬се множество первообразных функции f(x) называетс€ неопределенным интегралом этой функции и обозначаетс€ .

¬ыражение называют подынтегральным выражением, а f(x) Ц подынтегральной функцией. ѕодынтегральное выражение представл€ет собой дифференциал функции f(x).

ƒействие нахождени€ неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называетс€неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрировани€ €вл€етс€ не одна функци€ F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

Ќа основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

1.
ѕроизводна€ результата интегрировани€ равна подынтегральной функции.

2.
Ќеопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3. , где k Ц произвольна€ константа.
 оэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4.
Ќеопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

ѕромежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены дл€ по€снени€.

ƒл€ доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Ёти производные равны подынтегральным функци€м, что и €вл€етс€ доказательством в силу первого свойства. ќно же используетс€ в последних переходах.

“аким образом, задача интегрировани€ €вл€етс€ обратной задаче дифференцировани€, причем между этими задачами очень тесна€ св€зь:

Ј первое свойство позвол€ет проводить проверку интегрировани€. „тобы проверить правильность выполненного интегрировани€ достаточно вычислить производную полученного результата. ≈сли полученна€ в результате дифференцировани€ функци€ окажетс€ равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

Ј второе свойство неопределенного интеграла позвол€ет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. Ќа этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

–ассмотрим пример.

Ќайти первообразную функции , значение которой равно единице при х = 1.

–ешение.

ћы знаем из дифференциального исчислени€, что (достаточно загл€нуть в таблицу производных основных элементарных функций). “аким образом, . ѕо второму свойству . “о есть, имеем множество первообразных . ѕри х = 1 получим значение . ѕо условию, это значение должно быть равно единице, следовательно, — = 1. »скома€ первообразна€ примет вид .

≈сли таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-23; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 22285 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћюди избавились бы от половины своих непри€тностей, если бы договорились о значении слов. © –ене ƒекарт
==> читать все изречени€...

761 - | 608 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.042 с.