Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение 8. Множество точек на плоскости называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком содержится в этом множестве.

Примерами выпуклых множеств являются: треугольник, отрезок, полуплоскость, вся плоскость.

Определение 9. Функция y = f(x) называется выпуклой вниз (вверх) на множестве X, если для всех x₁,x₂Î X выполняется неравенство

f (l₁ x 1+l₂ x 2)£ l₁ f (x 1)+ l₂ f (x 2) (f (l₁ x 1+l₂ x 2)³ l₁ f (x 1)+ l₂ f (x 2)),

где l₁³ 0,l₂³ 0, l₁+l₂ = 1.

Графики функций, выпуклых вниз и вверх, изображены на рис. 25.

Справедлива

Теорема 9. Функция выпукла вниз (вверх) на множестве X тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f'(x) возрастает (убывает) на множестве X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику (рис.26). Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Приведем достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх).

Теорема 10 (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) на множестве X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом множестве.

Доказательство. Если f''(x)>0, xÎ X, то f'(x) возрастает на множестве X и по предыдущей теореме функция выпукла вниз на множестве X. Аналогично рассматривается случай, когда f''(x)<0.

Необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла вниз (вверх) на множестве X, то f''(x)³ 0, xÎ X (или f''(x)£ 0) xÎ X. Например, функция y = x⁴выпукла вниз на всей числовой прямой, но y'' = 12x² обращается в ноль при x = 0.

Определение 10 (точка перегиба). Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция имеет разные направления выпуклости.

Нетрудно заметить, что точки перегиба - это точки экстремума первой производной. Отсюда следуют утверждения.

Теорема 11 (необходимое условие перегиба). Вторая производная f''(x) дважды непрерывно дифференцируемой функции в точке перегиба x 0 равна нулю, т.е. f''(x 0 ) = 0.

Теорема 12 (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через точку x 0, в которой f''(x 0 ) = 0 меняет свой знак, то x 0 есть точка перегиба ее графика.

Заметим, что если в окрестности точки x₁ функция выпукла вниз, то график функции находится выше касательной, а если в окрестности точки x₂ функция выпукла вверх, то график функции находится ниже касательной. В точке перегиба x₀ касательная разделяет график - он лежит по разные стороны касательной. (рис. 27).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий исследование функции на выпуклость и точки перегиба.

Пример 13. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции y = x⁴+x³-18x²+24x -12.

Решение. Находим производные

y' = 4 x 3+3 x 2-36 x+ 24, y'' = 12 x 2+6 x- 36.

Отсюда y'' = 0 при x₁ = -2, x₂ = 3/2. Следовательно, y''>0 на интервалах (-¥,-2), (3/2,¥) и функция выпукла вниз; y''<0 на интервале (-2,3/2) и функция выпукла вверх на этом интервале. Так как при переходе через точки x₁ = -2 и x₂ = 3/2 вторая производная меняет знак, то точки (-2,-124) и (3/2,-129/16) являются точками перегиба.

Асимптоты графика функции

Определение 11 (вертикальная асимптота). Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если хотя бы один из пределов

lim _x ® a+ 0 f (x) или lim _x ® a- 0 f (x)

равен +¥ или -¥.

Пример 14. График функции y = 1/(x-2) имеет вертикальную асимптоту x = 2, так как lim_{x® 2+0}1/(x-2) = +¥, lim_{x® 2-0}1/(x-2) = -¥ (рис.28).

Определение 12 (наклонная асимптота). Говорят, что прямая y = kx+b является наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x® +¥, если f(x) имеет вид

f (x) = kx+b+ a (x),

где lim_{x® +¥}a (x) = 0.

Справедлива

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x ® +¥ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

lim _x ® +¥ f (x) /x = k, lim _x ® +¥(f (x) -kx) = b.

Доказательство.

1. Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +¥ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f (x) = kx+b+ a(x),

тогда

lim _x ® +¥ f (x) /x = (kx+b+ a(x)) /x = k,

lim _x ® +¥(f (x) -kx) = lim _x ® +¥(b+ a(x)) = b.

2. Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +¥. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

Замечание. Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 13 при x® -¥.

Замечание. Если k=0 в определении наклонной асимптоты, то наклонная асимптота является горизонтальной.

Пример 15. Найти асимптоты кривой:

y = 5 x/ (x- 3).

Решение. Кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3, так как

lim _x ® 3± 05 x/ (x- 3) = ±¥.

Найдем наклонную асимптоту:

k = lim _x ® ±¥ y/x = lim _x ® ±¥5 x/x (x- 3) = 0. b = lim _x ® ±¥(y-kx) =lim _x ® ±¥5 x/ (x- 3) = 5.

Итак, данная кривая имеет вертикальную асимптоту x = 3 и горизонтальную асимптоту y = 5.