Рассмотрим ряд важных теорем, которые полезны при исследовании функции. Справедлива
Теорема 5 (Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b), f(a) = f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что f( c ) = 0.
Доказательство. Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Если оба значения достигаются на концах отрезка, то они равны по условию, а это означает, что функция тождественно постоянна на [a,b]. Тогда производная такой функции равна нулю. Если же хотя бы одно из значений - максимальное или минимальное - достигается внутри отрезка, то производная равна нулю в силу теоремы Ферма.
Геометрический смысл этой теоремы хорошо иллюстрируется на следующем рисунке (рис.23): по теореме Ролля существует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс, в этой точке производная равна нулю.
Отметим, что все условия теоремы существенны, при невыполнении хотя бы одного из них утверждение теоремы неверно.
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Теорема 6 (Лагранжа). Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка c, такая, что
| f' (c) = (f (b) -f (a)) / (b-a). | (8) |
Доказательство. Введем новую функцию
g (x) = f (x) -f (a)-(f (b) -f (a))(x-a) / (b-a).
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), g(a) = g(b) = 0. Следовательно, найдется точка cÎ(a,b), такая, что
g' (c) = f' (c)-(f (b) -f (a)) / (b-a) = 0.
Отсюда
f' (c) = (f (b) -f (a)) / (b-a).
Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа приведена на рис.24. Заметим, что (f(b)-f(a))/(b-a) является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки A(a,f(a)),B(b,f(b)) кривой y = f(x), а f'(c) есть угловой коэффициент касательной к той же кривой, проходящий через точку C(c,f(c)). Из теоремы Лагранжа следует, что на кривой y = f(x) между точками A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна секущей AB.
Следствие 2. Если производная функции f(x) равна нулю на некотором множестве, то функция тождественно постоянна на этом множестве.
Данное следствие автоматически следует из формулы (8).
Правило Лопиталя
Будем говорить, что отношение функций f(x)/g(x) представляет собой неопределенность вида 0/0 при x® a, если
lim x ® af (x) = lim x ® ag (x) = 0.
Раскрыть неопределенность - это значит вычислить предел
limx® af(x)/g(x), если он существует. Аналогично можно ввести понятие неопределенности при x® a-0 (x® a+0), x® ±¥.
Следующая теорема дает правило раскрытия неопределенности вида 0/0.
Теорема 7 (правило Лопиталя). Пусть множество 
(a) - проколотая d - окрестность точки a, функции f(x),g(x) определены и дифференцируемы на , g'(x) ¹ 0,
lim x ® af (x) = lim x ® ag (x) = 0.
Тогда если существует lim x ® af'(x)/g'(x), то существует и предел lim x ® af(x)/g(x), причем справедливо соотношение
lim x ® af (x) /g (x) = lim x ® af' (x) /g' (x).
Данная теорема без изменений переносится на случай неопределенности вида¥/¥.
Замечание. Сформулированная теорема представляет собой лишь достаточное условие. То есть предел отношения функций может существовать и в случае, когда предел отношения производных не существует.
Например, пусть f(x) = x+sin x, g(x) = x-sin x, x® ¥. Попробуем применить правило Лопиталя
lim x ® ¥(x+ sin x) / (x- sin x) = ¥ / ¥ = =lim x ® ¥(x+ sin x) '/ (x- sin x) ' = lim x ® ¥ (1+cos x) / (1-cos x),
но предел последнего выражения не существует, однако, если поделить числитель и знаменатель на x, то легко получим конечное значения предела:
lim x ® ¥(x+ sin x) / (x- sin x) = lim x ® ¥ (1+sin x/x) / (1-sin x/x) = 1
Замечание. Если производные f'(x),g'(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применить повторно, т.е. предел отношения первых производных можно заменить пределом отношения вторых производных и т.д.
Кроме рассмотренных выше видов неопределенностей вида 0/0 и ¥/¥ часто встречаются неопределенности видов: 0· ¥, ¥-¥, 1¥, 0¥, ¥0. Все эти неопределенности сводятся к двум вида 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. Продемонстрируем это на примере неопределенностей вида 1¥, 0¥, ¥0. Каждая из этих неопределенностей имеет вид
| y = f (x) g (x), | (9) |
где limx® af(x) = 1;0;¥, limx® ag(x) = ¥;0, Прологарифмировав выражение (9), получим (при f(x)>0)
ln y = g (x)ln f (x).
Последнее выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0·¥. Покажем, как свести неопределенность вида 0· ¥ к неопределенности вида 0/0 или ¥/¥.
Пусть y = f(x)g(x), где limx® af(x) = 0, а limx® ag(x) = ¥. Но y можно записать иначе, а именно y = f(x)/(1/g(x)), а данное выражение представляет собой при x® a неопределенность вида 0/0.
Проиллюстрируем на примерах применение правила Лопиталя.
Пример 12. Применяя правило Лопиталя, вычислить пределы:
1. limx® 0(eax-e-2ax)/ln (1+x) = 0/0= limx® 0(aeax+2ae-2ax)/(1/(1+x)) = 3a.
2. lim x ® ¥(e 1 /x 2 - 1) / (2 arctg x 2-p) = 0 / 0= lim x ® ¥(-2 x- 3 e 1 /x 2) / (4 x/ (1 +x 4)) = lim x ® ¥ -e 1 /x 2(1 +x 4) / 2 x 4 = -1 / 2.
3. limx® 1(1/ln x-1/(x-1)) = ¥-¥ = limx® 1 (x-1-ln x)/((x-1)ln x) = limx® 1(1-1/x)/(ln x+1-1/x) = limx® 1(x-1)/(xln x+x-1) = limx® 11/(ln x+2) = 1/2.
4. limx® +0(1/x)sin x. Пусть y = (1/x)sin x, тогда ln y = sin xln (1/x),
lim x ® +0ln y = lim lim x ® +0sin x ln (1 /x). lim x ® +0ln y = lim x ® +0(-ln x) / (1 / sin x) = lim x ® +0(-1 /x) / (-cos x/ sin2 x) = lim x ® +0 sin2 x/ (x cos x) = 0.
Следовательно, limx® 0 y = e0 = 1.
Формула Тейлора
Теорема 8 (теорема Тейлора). Пусть функция f (x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+ 1. Тогда между точками a и x ¹ a найдется такая точка 
, что справедлива следующая формула:
| (10) |
Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение
представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f (n+ 1)(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x ® a более высокого порядка, чем (x-a) n. Таким образом, остаточный член можно записать в виде
Rn+ 1(x) = o ((x-a) n) при x ® a.
Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.
Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:
| (11) |
Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид
Rn+ 1 = o (xn) при x ® 0.
Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена
