Модель. Моделирование. Изоморфизм. Гомоморфизм

По определению ряда специалистов, математическая модель реального процесса есть некоторый математический объект, поставленный в соответствие данному процессу и представляющий собой совокупность соотношений (формул, уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.д.), которые связывают характеристики процесса с параметрами соответствующей системы, исходной информацией и начальными условиями.

Сущность моделирования заключается в том, что устанавливается отношение эквивалентности между двумя системами, каждая из которых может быть или реально существующей, или абстрактной. Если одна из этих систем оказывается проще для исследования, чем вторая, то о свойствах второй системы можно судить, наблюдая поведение первой. В этом случае, использованная для исследования система будет моделью первой.

Степень соответствия (подобия) модели и моделируемой системы могут быть различной. Различают два уровня соответствия: изоморфизм и гомоморфизм. Если элементы, связи, преобразования двух или более систем находятся во взаимно однозначном соответствии, то эти - системы изоморфны. При изоморфизме каждая из систем может служить моделью другой, поскольку они эквивалентны относительно рассматриваемых элементов, связей и преобразований. При гомоморфизме соответствие направлено в одну сторону. Причем каждому элементу, каждой связи и каждому преобразованию в первой системе соответствуют определенней элемент, определённая связь и определённое преобразование во второй системе (но не наоборот). Вторая система является гомоморфным отображением первой может рассматриваться как ее упрощенная модель. Нескольким элементам, связям, преобразованиям первой системы могут соответствовать один элемент, одна связь, одно преобразование во второйсистеме. Следовательно, вторая система может «не различать» всех особенностей первой системы.

Таким образом, если между моделью и реальной системой наблюдается полное поэлементное соответствие, то модель называется изоморфной. Модели, отдельные части которых соответствуют лишь крупным частям реальной системы, называются, гомоморфными.

Под моделированием объекта, системыпонимают построение достаточно адекватного (по исследуемым свойствам) этому объекту аналога-модели с последующим исследованием на этой модели соответствующих показателей объекта, системы.

Математическое моделирование системы в конечном счёте преследует цель определения оптимального поведения этой системы и состоит в подборе математических схем, адекватным процессам, происходящим в действительности. Это требование, естественно, предполагает наличие теоретических и эмпирических представлений о закономерностях каждоготакого процесса, его структуре, об условиях и факторах, влияющих на ее формирование.

Многие задачи требуют исследования процесса функционирования сложной системы с учётом взаимодействия между элементами системы. В этих случаях прибегают к использованию метода моделирования работы системы на универсальных ЭВМ. Для реализации такого метода необходимо для исследуемого процесса построить соответствующий моделирующий алгоритм, имитирующий при помощи операций вычислительной машины поведение элементов сложной системы и взаимодействие между ними с учетом возмущающих факторов.

В число основных факторов, которые обусловливают целесообразность применения моделирования при оценке качества функционирования сложных систем, обычно включают:

1. Метод построения моделей сложных систем позволяет предсказывать поведение реальных систем путем исследования одних моделей. Такую возможность дает:

а) получение обширной информации о различных сторонах работы системы;

б) изучение процесса функционирования системы в целом с учётом разнообразных взаимодействий элементов сложной системы и совместного действия различных факторов.

2. С помощью математической модели можно исследовать влияние изменений основных исходных параметров работы элементов системы (в том числе и структурных) на показатели эффективности системы в целом. Кроме того, зная пределы изменения параметров, характеризующих систему, можно, используя модель для получения оценки эффективности и экономичности системы, найти оптимальный вариант ее.

3. Моделирование работы системы может производиться для проверки правильности предлагаемых аналитических методов исследования и уточнения полученных ориентировочных результатов при более широких, чем для других методов, предположениях о свойствах модели.

4. Моделирование даёт возможность исследовать поведение сложной системы под воздействием внешних и внутренних возмущений, т.е. исследовать устойчивость функционирования системы и её помехозащищённость под действием возмущающих факторов.

Классификация моделей

В настоящее время классифицируют существующие модели сложных систем следующим образом:

По характеру связи с реальным объектом, который данная модель имитирует, модели подразделяются на модели геометрического подобия (изобразительные модели), модели-аналоги и символические модели.

Изобразительная модель отражает внешние характеристики системы, т.е. представляет отображение свойств оригинала, которые обычно подвергаются метризации с определённым масштабом. Масштаб выбирается, исходя из экономии и удобства пользования. Изобразительные модели приспособлены для отображения статического или динамического явления в определённый момент времени. Однако такие модели неприменимы для отображения динамики явлений. В геометрически подобной модели отображаются лишь те свойства оригинала, которые существенны для задан, решаемых с помощью данной модели.

Модели-аналоги используют для свойств одного явления для отображения свойств другого явления. Применение моделей-аналогов дает возможность проверять изменение различных параметров. Модели-аналоги имеют ряд преимуществ во сравнению с изобразительными моделями, в частности, они эффективно применяются для отображения динамических процессов или систем и обладают большой универсальностью.

Символические модели отображают свойства изучаемой системы с помощью символов, используя для этого математический аппарат. Символы математического и логического характера отображают в модели элементы системы и взаимосвязь между ними. В настоящее время символические модели применяются повсеместно, в том числе для моделирования работы автоматических и автоматизированных систем.

По наличию случайных элементов модели подразделяются на вероятностные и детерминированные. В случае, если функционирование системы лишено случайных возмущений или ими можно пренебречь, либо в случае замены случайных элементов системы детерминированными параметрами (например, математическим ожиданием), соответствующие модели также не содержат случайных элементов и являются детерминированными. Следует, однако, учесть, что для подавляющей части реальных больших систем достаточная адекватная детерминированная математическая модель не может быть построена. В этом случае переходят к вероятностным моделям, которые в настоящее время занимают центральное место.

По отображению функционирования сложной системы во времени модели подразделяются на одномоментные (или статические) и динамические. Одномоментные модели можно использовать в тех случаях, когда моделируемая система, для удовлетворения требований которой необходимо получить какое-то решение в определённый момент времени. Наибольшее отображение такого рода ситуации находят в системах управления запасами, в которых одномоментные модели применяются повсеместно (определение однократного времени заказа или объёма заказа на пополнение запасов). Динамические модели отображают процесс функционирования системы за ряд последовательных периодов. Примерами такого рода моделей являются получившие в последние годы широкое распространение сетевые модели, ряд динамических моделей управления запасами и др.

По виду имитации моделируемого объекта или системы модели подразделяются на аналитические и имитационные. Аналитические модели связаны с однократным расчётом на основе формульных или логических зависимостей. Имитационные же модели основаны на многократной имитации (воспроизводстве операций) моделируемой системы с использованием случайных элементов и с последующей обработкой полученных статистических результатов. Последнее даёт возможность оценить показатели качества системы как средние значения по данным большого количества реализаций (имитации) работы системы.