Прогнозирование развития материалопотока лесопромышленного предприятия

Цель работы. Освоить традиционные и компьютерные методы статистического анализа производственно-хозяйственной деятельности лесопромышленного предприятия и методы прогнозирования деятельности на тактическом уровне.

Задача. Выполнить анализ деятельности лесопромышленного предприятия за предыдущий период и обосновать план производства на первые три месяца следующего периода с вероятностью 0,95 и 0, 98.

В лесопромышленной логистике основной целью является создание такой товаропроизводящей и товаропроводящей логистической системы, чтобы при минимально возможных затратах достичь максимально возможного эффекта.

Для создания эффективной логистической системы, в первую очередь, необходимо иметь возможность прогнозировать развитие потребностей и покупательной возможности потребителей, прогнозировать развитие своего производства и возможного развития конкурентов.

Прогнозирование дает возможность обосновать параметры проектирования новых лесозаготовительных и лесоперерабатывающих предприятий на предпроектной стадии, проектирования их реконструкции, а также совершенствования технологических процессов лесного производства.

Прогнозирование чаще всего производится с использованием экстраполяционных методов, которые базируются на предположении о том, что будущее является продолжением настоящего. При этом предполагается, что в будущем, в пределах прогноза, сохраняются существующие тенденции развития.

Прогнозирование производится с использованием математических методов, таких как метод наименьших квадратов, метод Чебышева, а в простейших случаях методов интерполирования, экспоненциального сглаживания, скользящей средней, экспертных оценок, имитационного моделирования и других.

Методы прогнозирования

2.1.1. Метод наименьших квадратов.

Если известен вид эмпирической формулы y = f(x, a₀, a₁,.., a_m) и ее отклонения e_i = f(x_i, a₀, a₁,.., a_m) – y_i от исходных данных (x y_i). Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами a₀, a₁,.., a_m считаются те, для которых сумма квадратов отклонений минимальна, то есть

(2.1)

Это возможно в том случае, если частные производные равны нулю:

(2.2)

Если эмпирическая формула f(x, a₀, a₁,.., a_m) линейна относительно ее параметров, то система (2.2) может быть представлена в простом виде. Полагая:

получим

отсюда

(2.3)

В частности, если эмпирическая формула представляет собой полином

(2.4)

то после некоторых преобразований система (2.3) запишется в виде:

(2.5)

Если уравнение регрессии представлено линейным уравнением вида

y = a₀ + a₁x, (2.6)

то параметры ее по методу наименьших квадратов находятся из системы уравнений:

(2.7)

Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными и имеет единственное решение. Схема нахождения сумм, входящих в систему (2.7), представлена в табл. 2.1.

Таблица 2.1.

Таблица для расчета параметров уравнения (2.7)

Номер Опыта	Значение параметра x_i	Значение параметра y_i	x_iy_i	x_i²
	X₁	y₁	x₁ y₁	x₁²
	X₂	y₂	x₂ y₂	x₂²
…	…	…	…	…
n	x_n	y_n	x_n y_n	x_n²

Для определения параметров эмпирической зависимости, выраженной уравнением регрессии второго порядка в виде

(2.8)

необходимо составить систему уравнений:

(2.9)

Суммы, входящие в систему (2.9), удобно вычислять, пользуясь схемой табл. 2.2.

Таблица 2.2.

Таблица для расчета параметров уравнения (2.9)

Номер опыта	Значение параметра x_i	Значение параметра y_i	x_i²	x_i³	x_i⁴	x_iy_i	x_i²y_i
	x₁	y₁	x₁²	x₁³	x₁⁴	x₁y₁	x₁² y₁
	x₂	y₂	x₂²	x₂³	x₂⁴	x₂y₂	x₂² y₂
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.
n	x_n	y_n	x_n²	x_n³	x_n⁴	x_nyn	x_n²y_n

Решение систем уравнений (2.5), (2.7), (2.9) не представляет трудности, так как число уравнений равно числу неизвестных параметров. Недостатком метода является громоздкость вычислений.

2.1.2. Метод Чебышева.

Если в процессе обработки экспериментальных данных по методу наименьших квадратов возникает необходимость повысить степень многочлена, то требуется не только найти еще один коэффициент, но и пересчитать найденные ранее, так как изменяется система уравнений, из которой они определяются. В таком случае легче пользоваться методом Чебышева. Эмпирический многочлен ищется в виде суммы многочленов повышающихся степеней, причем добавление новых слагаемых не изменяет коэффициентов в предыдущих. Прибавляя член за членом, можно видеть, как убывает сумма квадратов отклонений величин, вычисленных по найденной формуле, от экспериментальных значений. При этом методе значительно облегчается выбор степени многочлена.

Пусть для n наблюдений требуется найти многочлен степени m с m+1 неизвестными коэффициентами a₀, a₁, …,a_m, при этом предполагается, что m<n.

Суть метода состоит в том, что эмпирический многочлен ищут не непосредственно в виде суммы степеней x, а в виде комбинаций много членов, которые выбирают специальным образом. Запишем искомый многочлен в виде

(2.10)

где j₀(x) = 1, j₁(x) = x + a₁, …, j_m(x) = x + a_m,

Вообще j₁(x) – многочлен степени l имеет вид

(2.11)

со старшим коэффициентом, равным единице.

Предполагая, что многочлены каким-то образом выбраны, определим наиболее вероятные значения коэффициентов a₀, a₁, …,a_m. Находим способом наименьших квадратов минимум функции (2.1). При этом получим систему уравнений:

(2.12)

Для упрощения системы (2.12) многочлены j₀(x),…, j_m(x) подбираются так, чтобы выполнить условия:

(2.13)

Это означает, что хотя бы в одной из точек x₁, x₂, …, x_n многочлен j_l(x) не равен нулю. Такие многочлены называются ортогональными многочленами Чебышева. При соблюдении указанных условий в левой части каждого уравнения (2.12) останется по одному числу, и тогда выражение для определения коэффициентов примет вид:

(2.14)

Из условий (2.13), учитывая, что j₀(x) = 1 и приняв в них l = 0, k = 1 для многочлена j₁(x), получим:

(2.15)

Так как согласно формуле (2.11) многочлен

j₁(x) = x + a₁,

то выражение (2.15) можно записать так:

(2.16)

откуда

или (2.17)

В результате

(2.18)

Для построения многочлена j₂(x) положим в выражениях (2.13) последовательно l = 0, k = 2 и затем l = 1, k = 2, получим два уравнения:

(2.19)

j₂(x) – многочлен второй степени со старшим членом, равным единице. Поэтому его можно записать в виде

j₂(x) = (x + b₂)j₁(x) + g₂j₀(x). (2.20)

Подставив (2.20) в систему (2.19), и учитывая, что j₀(x) = 1, получим

(2.21)

или учитывая выражение (2.15)

(2.22)

Решая систему уравнений (2.22), получим:

(2.23)

Вычисляя коэффициенты b ₂ и g ₂, находим и многочлен j₂(x) по формуле (2.20).

При вычислении величин b ₂ и g ₂ по формулам (2.23) надо знать только суммы степеней

(2.24)

При выводах системы уравнений (2.24) учитывалось, что å j₁(x) = 0.

Таким образом, многочлены j₀(x), j₁(x), j₂(x) найдены. Теперь необходимо по формуле (2.14) установить наиболее вероятные значения коэффициентов a ₀, a ₁, …, a _m. Если многочлен (2.10) уже построен, то есть многочлены j₀(x),…, j_m(x) и коэффициенты a ₀, …, a _m найдены, но точность многочлена нас не удовлетворяет, нужно найти следующий член a_m+1 j _m+1(x). Для этого по формулам, аналогичным (2.20) и (2.22), строим многочлен j_m+1(x) и по формуле (2.24) находим коэффициент a_m+1.

2.1.3. Метод экспоненциального сглаживания.

В этом методе акцент ставится на более поздние наблюдения — им придается больший вес. Прогнозируемые оценки определяются по формуле:

y₍_m₊₁₎= (1-α)*y_m+(1-α)α*y_m_-1+(1-α)α²*y_m_-2+……(1-α)α^k^*y_m_-_k (2.25)

где y₍_m₊₁ ₎- это прогноз на следующий за наблюдаемым отрезок времени;

α - коэффициент сглаживания, 0< а <1;

y_m_-_k _-значение исследуемого параметра, наблюдавшееся К периодов назад.

Параметр α обычно выбирается по приближенной формуле:

(2.26)

где m - число наблюдений, входящих в интервал сглаживания (m ≥ 2).

Следует заметить, что небольшое изменение а мало сказывается на результатах прогноза. Обычно его округляют до десятых долей единицы.

Преимущество метода экспоненциального сглаживания по сравнению с методом наименьших квадратов - простота. Недостаток - можно прогнозировать лишь на один период вперед. Чтобы спрогнозировать спрос на 14-й месяц, нужно дождаться получения фактических данных о 13-м месяце ит.д..

2.1.4. Метод скользящего среднего.

Прогнозные оценки определяются путем расчета среднего арифметического нескольких последних наблюдений.

y_(m+1)=(y_m+y_m-1+y_m-2+ y_m-3+y_m-4)/5 (2.27)

2.2. Пример прогнозирования развития материального потока.

Исходные данные:

Спрос на продукцию лесопромышленного предприятия за предыдущие 12 месяцев составляет:

Месяц

Спрос в условных единицах

Выполнить:

Установить план производства на первые три месяца следующего периода с вероятностью 0,98 и 0,95.

Прогнозирование выполнить методами наименьших квадратов, методом Чебышева. Оценить погрешность. Представить графики и дать выводы.