Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕон€тие определенного интеграла




 

ѕусть функци€ определена и непрерывна на отрезке . –азделим отрезок на произвольных частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и найдем длину каждого такого отрезка: .

»нтегральной суммой дл€ функции на отрезке называетс€ сумма вида

.

ƒл€ каждой непрерывной на функции можно построить бесконечное число интегральных сумм, кажда€ из которых зависит от разбиени€ отрезка на части и выбора точек на каждом элементарном отрезке.

ќпределение. ќпределенным интегралом от функции на отрезке называетс€ предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремитс€ к нулю; если этот предел существует и не зависит от способа разбиени€ отрезка на части и выбора точек на каждом из элементарных отрезков:

.

„исла и называют пределами интегрировани€; Ц отрезком интегрировани€; Ц подынтегральной функцией; Ц подынтегральным выражением; Ц переменной интегрировани€.

 

“еорема существовани€ определенного интеграла. ≈сли функци€ непрерывна на , то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиени€ отрезка на элементарные и от способа выбора точек .

≈сли на , то определенный интеграл геометрически представл€ет собой площадь криволинейной трапеции Ц фигуры, ограниченной лини€ми (рис. 10).

             
       
                     
                     
                     
                     
                     
  0
                     
–ис. 10

ќсновные свойства определенного интеграла

 

1о «начение определенного интеграла не зависит от переменной интегрировани€ .
2о ≈сли пределы интегрировани€ помен€ть местами, то интеграл изменит знак на противоположный .
3о »нтеграл с одинаковыми пределами интегрировани€ равен нулю .
4о ≈сли отрезок интегрировани€ разбить точкой , то интеграл по всему отрезку будет равен сумме интегралов по его част€м . ‘ормула оказываетс€ верной дл€ любого расположени€ точек при условии существовани€ всех вход€щих в нее интегралов.
5о »нтеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций .
6о ѕосто€нный множитель можно выносить за знак интеграла
7о ќпределенный интеграл в симметричных относительно нул€ пределах от четной функции равен удвоенному интегралу на половине интервала интегрировани€:
8о ќпределенный интеграл в симметричных относительно нул€ пределах от нечетной функции равен нулю

‘ормула Ќьютона-Ћейбница

“еорема ≈сли функци€ на отрезке €вл€етс€ первообразной дл€ непрерывной функции , то равен приращению первообразной на этом отрезке:

.

Ёто формула Ќьютона-Ћейбница. ≈е можно представить в виде

.

»з данного соотношени€ вытекает св€зь между определенным и неопределенным интегралами. ќпределенный интеграл равен функции, найденной по неопределенному интегралу и вычисленной в заданных пределах. Ќеопределенный интеграл Ц это функци€, определенный интеграл Ц это число (значение функции).

 

ћетоды интегрировани€

 

1. Ќепосредственное интегрирование основано на свойствах интеграла, формуле Ќьютона-Ћейбница и таблице интегралов.

2. «амена переменной:

,

где Ц функци€, непрерывна€ вместе со своей производной на отрезке , , , Ц функци€, непрерывна€ на . ѕосле вычислени€ последнего интеграла нет необходимости возвращатьс€ к прежней переменной .

3. »нтегрирование по част€м:

,

где Ц непрерывно дифференцируемые функции на отрезке . ¬се рекомендации относительно обозначений и сохран€ютс€.

 

ѕример. ¬ычислить интеграл .

–ешение. ¬водим новую переменную интегрировани€, полага€ . ќтсюда находим и новые пределы интеграла: при , при .

ѕодставл€€, получим

.

ѕример. ¬ычислить интеграл .

–ешение. ѕо формуле интегрировани€ по част€м находим

 

 

6. Ќесобственный интеграл

 

Ќесобственными интегралами называютс€:

І интегралы с бесконечными пределами от ограниченных функций;

І интегралы с конечными пределами от неограниченных функций.

Ќесобственный интеграл от функции в переделах от до определ€етс€ равенством

.

≈сли этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называетс€ сход€щимс€; если же предел не существует или равен бесконечности Ц расход€щимс€.

јналогично

,

,

где Ц произвольна€ точка.

≈сли функци€ не ограничена в окрестности точки , и непрерывна при и , то, по определению, полагают

Ќесобственный интеграл называетс€ сход€щимс€, если оба предела конечны в правой части равенства, и расход€щимс€, если не существует или равен бесконечности хот€ бы один из них.

ѕример. ¬ычислить несобственный интеграл .

–ешение. »меем

,

предел не существует, следовательно, интеграл расходитс€.

ѕример. ¬ычислить .

–ешение. Ќайдем

,

несобственный интеграл сходитс€.

ѕример. Ќайти .

–ешение. ѕодынтегральна€ функци€ в точке неограниченна, поэтому

,

т.е. несобственный интеграл расходитс€.

7. ƒифференциальные уравнени€

 

ƒифференциальным уравнением называетс€ соотношение, св€зывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные (или ее дифференциалы).

ѕор€дком дифференциального уравнени€ называетс€ наивысший пор€док производной (или дифференциала), вход€щий в уравнение.

ƒифференциальное уравнение пор€дка в общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы до пор€дка включительно и имеет вид

.

ƒифференциальное уравнение первого пор€дка имеет вид

.

«адача состоит в определении из дифференциального уравнени€ неизвестной функции, а процесс определени€ функции называетс€ интегрированием дифференциального уравнени€.

–ешением уравнени€ первого пор€дка называетс€ вс€ка€ дифференцируема€ функци€ , удовлетвор€юща€ этому уравнению, т.е. така€, после подстановки которой в уравнение оно обращаетс€ в тождество

.

 рива€ , определ€ема€ решением уравнени€ называетс€ интегральной кривой дифференциального уравнени€.

ќбщим решением дифференциального уравнени€ первого пор€дка называетс€ соотношение вида

,

содержащее произвольную посто€нную и €вл€ющеес€ решением дифференциального уравнени€ при любом действительном значении посто€нной .

»ногда вместо общего решени€ получают общий интеграл

,

где Ц функци€ переменной .

”равнени€ определ€ют семейство интегральных кривых уравнени€ первого пор€дка.

„астным решением дифференциального уравнени€ называетс€ такое решение, которое получаетс€ из общего решени€ при некотором частном значении произвольной посто€нной.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-11-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1999 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент всегда отча€нный романтик! ’оть может сдать на двойку романтизм. © Ёдуард ј. јсадов
==> читать все изречени€...

1425 - | 1232 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.035 с.