Математика для экономистов
Курс лекций
для студентов дневной и заочной формы обучения
Авторы:
Шепеленко О.В., Щетинина Е.К., Скрыпник С.В.,
Фомина Т.А., Саркисьянц Е.В.
Затверджено:
Протокол засідання кафедри
вищої і прикладної математики
№ 25 від 15.04.2010 р.
Донецьк 2010
С о д е р ж а н и е
| стр. | |
| 1. Элементы теории пределов……………………………………………………... | |
| 1.1. Предел последовательности………………………………………………..... | |
| 1.2. Предел функции…………………………………………………………….… | |
| 1.3. Раскрытие неопределенностей ……………………………………………... | |
| 1.4. Первый замечательный предел……………………………………………… | |
| 1.5. Второй замечательный предел ……………………………………………… | |
| 2. Производная функции…………………………………………………………… | |
| 2.1. Понятие производной функции…………………………………………..... | |
| 2.2. Производная сложной функции…………………………………………..... | |
| 2.3. Дифференцирование неявной функции……………………………….… | |
| 3. Применение производной к исследованию функции………………….… | |
| 3.1. Экстремум функции………………………………………………………….. | |
| 3.2. Точки перегиба………………………………………………………………… | |
| 3.3. Асимптоты ……………………………………………………………………… | |
| 3.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика……… | |
| 4. Неопределенный интеграл……………………………………………………… | |
| 4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл………………… | |
| 4.2. Непосредственное интегрирование ……………………………………….. | |
| 4.3. Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)….. | |
| 4.4. Интегрирование по частям ………………………………………………….. | |
| 4.5. Интегрирование рациональных дробей………………………………….. | |
| 4.6. Интегрирование тригонометрических функций ………………………. | |
| 5. Определенный интеграл ………………………………………………………... | |
| 5.1. Понятие определенного интеграла………………………………………… | |
| 5.2. Формула Ньютона-Лейбница……………………………………………….. | |
| 5.3. Методы интегрирования……………………………………………………... | |
| 6. Несобственный интеграл ………………………………………………………... | |
| 7. Дифференциальные уравнения……………………………………………….. | |
| 7.1. Уравнения с разделяющимися переменными……………………………. | |
| 7.2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ……… | |
| 7.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка…………. | |
| 7.4. Дифференциальные уравнения второго порядка………………………. | |
| 7.5. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами………………………………………….. | |
| 8. Числовые ряды ……………………………………………………………………. | |
| 8.1. Необходимый признак сходимости числового ряда…………………….. | |
| 8.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов…….. | |
| 8.3. Знакочередующиеся ряды…………………………………………………… | |
| 9. Степенные ряды…………………………………………………………………… | |
| Литература ……………………………………………………………………………. |
| 1. Элементы теории пределов |
1.1. Предел последовательности
| Определение. | Числовой последовательностью называется функция  натурального аргумента.
|
Член 
называется общим членом последовательности. Последовательность с общим членом содержит бесконечное множество чисел и обозначается 
. Последовательность считается заданной, если дан способ вычисления любого ее члена по его известному номеру.
Пример. Написать первые 10 членов последовательности, если ее общий член 
.
Решение. Вычисляя значение дроби 
при значениях 
, равных 1, 2, 3,…, 10, получим: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
В общем виде: 
| Определение. | Число  называется пределомпоследовательности , если для любого, даже сколь угодно малого, положительного числа  найдется такое натуральное число  ,
|
что все значения переменной , начиная с 
, отличаются от по абсолютной величине меньше чем на :
при всех 
, или
.
Если последовательность имеет предел, то этот предел единственный.
Если последовательность имеет предел, равный , то говорят, что эта последовательность сходится к . Например, поскольку 
, то говорят, что последовательность 
сходится к 1.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся. Например, последовательность 
,… не имеет предела, значит она расходится.
Геометрическая интерпретация предела. Постоянное число называется пределомпеременной 
, если для любой окрестности с центром в точке , даже сколь угодно малого радиуса , найдется такое значение , что точки, изображающие это значение и все последующие значения переменной , попадут в эту окрестность (рис.1). Обратим внимание на то, что вне любой окрестности точки лежит лишь конечное число значений переменной .
 |
0
Рис. 1 Геометрическая интерпретация предела последовательности
Предел функции
| Определение. | Число  является пределом функции  при  , если для любого, даже сколь угодно малого, положительного числа существует такое положительное число  , что для всех , удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство
 .
|
Тот факт, что функция при имеет предел, равный , символически обозначают в виде
.
Геометрическая интерпретация. Пусть дан график функции 
, имеющей предел при , равный (рис.2).
Для каждого наперед заданного значения 
, найдется окрестность точки радиуса , такая, что часть графика данной функции, соответствующая окрестности 
, содержится внутри полосы, ограниченной прямыми 
, 
.
| 
| |||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
|
| 
| 
| ||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
|
| 
|
|
Рис. 2 Геометрическая интерпретация предела функции
