Математическая обработка результатов измерений

Случайные погрешности имеют статистический характер, их математическая обработка производится с помощью теории вероятностей. При многократном измерении равновероятно получить результат как больший, так и меньший, чем истинное значение измеряемой величины.

Пусть проведено п измерений величины х; и в результате получено п значений: х₁, х₂,..., х_п. Величина

, (1)

называемая средним арифметическим значением, является хорошим приближением к истинному значению измеряемой величины и иногда используется как окончательный итог серии измерений.

Рассмотрим несколько этапов упрощенной математической обработки результатов измерений и оценим возникающие при этом погрешности:

1. Находим среднее арифметическое значение x _ср измеряемой величины.

2. Вычисляем абсолютные погрешности результатов отдельных измерений.

Абсолютной погрешностью отдельного измерения |Dx_i| называется разность между средним значением измеряемой величины и значением, полученным при данном измерении:

|Dx_i| =|x_i – x_ср| (i=1, 2,..., n) (2)

Абсолютная погрешность имеет размерность измеряемой величины и характеризует качество отдельных измерений: те измерения, у которых абсолютная погрешность меньше, выполнены более точно. Знак «+» (или «-») у абсолютной погрешности данного измерения показывает, что результат, полученный при данном измерении, получился больше (или меньше) среднего значения измеряемой величины.

3. Вычисляем среднюю абсолютную погрешность опыта. Она находится как среднее арифметическое абсолютных значений абсолютных погрешностей отдельных измерений:

(3)

4. Вычисляем относительную погрешность опыта. Средняя абсолютная погрешность не характеризует точности измерения.

Пусть, например, =0,1 мм. Высокая ли точность была в данных измерениях? На этот вопрос нельзя ответить. Дело в том, что такая погрешность, допущенная, например, при измерении толщины оси маятника ручных часов, является недопустимо большой, а при измерении расстояния между двумя городами — излишне малой.

Для оценки точности, с которой определена измеряемая величина, используют понятие относительной погрешности:

(4)

Относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеряемой величины. Это дает возможность оценивать точность проведенных измерений, качество работы.

Так, например, если при измерении бруска длиной l =1,5 см была допущена абсолютная погрешность 0,03 мм, а при измерении расстояния l =3,64·10⁵ км от Земли до Луны абсолютная погрешность составила 100 км, то может показаться, что первое измерение выполнено намного точнее второго. Однако о точности измерения можно судить по относительной погрешности, а она показывает, что второе измерение было выполнено в семь раз точнее первого:

ε_x =( 0,03мм/15мм)×100%=0,2%

и

ε _L=( 100км/364000км)×100%=0,03%.

Относительная погрешность позволяет производить сравнение точности измерений разнородных физических величин.

5. Записываем окончательный результат:

(5)

Еслисредняя абсолютная погрешность , то она определяет пределы, в которых лежит истинное значение измеряемой величины. Величина х измерена тем точнее, чем меньше интервал, в котором находится ее истинное значение:

Мы рассмотрели простейший способ математической обработки результатов измерений, полученных в эксперименте. Этот метод не дает точных результатов и поэтому в научных исследованиях, как правило, не применяется. Он используется для расчета систематических погрешностей или для расчета случайных погрешностей в условиях учебного процесса, когда проведено три измерения, т. е. этот метод является облегченным вариантом математической обработки результатов малого количества измерений.

Пример 1. С помощью метровой линейки, на которой указаны сантиметры и их половинки, была измерена длина тела. Результат измерения оказался 87,2 см. Десятые доли оценивались «на глаз».

Если проведено только одно измерение, то для оценки погрешности нужно воспользоваться характеристикой измерительного прибора, в данном случае линейки. Наименьшее деление ее 0,5 см, поэтому погрешность, которую мы допускаем, пользуясь такой линейкой - 0,25 см (половина меньшего деления шкалы). Однако если десятые доли сантиметров определяются «на глаз» (кроме 0,5), то сотые доли на этой линейке определены быть не могут, они недостоверны и поэтому 0,25 см округлим до 0,3 см. Окончательный результат записываем так: l =(87,2±3) см. Это означает, что измеряемая величина лежит в интервале между числами 86,9 и 87,5 см.

Пример 2. При. измерении диаметра стержня с помощью микрометра было сделано четыре измерения, результаты которых занесены в таблицу:

N	d, мм	d
	7,32	-
	7,85
	7,89	0,04
	7,80	0,05
Ср.зн.	7,85	0,03

1) Просматривая результаты измерений, замечаем, что результат первого измерения резко отличается от результатов всех других измерений. Интуитивно оценивая этот результат, как ошибочный (промах), исключаем его из дальнейших расчетов (отбрасываем). По данным таблицы вычисляем среднее значение диаметра и определяем погрешности: при измерении микрометром достоверными являются только сотые доли миллиметра;

2) ; ;

;

3)

4)

5) Окончательный результат записываем в виде:

Лабораторная работа №1