а) Тело участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковыми круговыми частотами w, но с различными амплитудами и начальными фазами.
Уравнение этих колебаний запишутся следующим образом:
х1 = а1 cos(wt + j1)
(2)
x2 = a2 cos(wt + j2),
где х1 и х2 - смещения; а1 и а2 - амплитуды; w - круговая частота обоих колебаний; j1 и j2 - начальные фазы колебаний.
Выполним сложение этих колебаний при помощи векторной диаграммы. Представим оба колебания векторами амплитуд. Для этого от произвольной точки О, лежащей на оси х, отложим два вектора 
1 и 2соответственно под углами j1 и j2 к этой оси (рис.2).
Рис. 2
Проекции этих векторов на ось х будут равны смещениям х1 и х2 согласно выражению (2). При вращении обоих векторов против часовой стрелки с угловой скоростью w проекции их концов на ось х будут совершать гармонические колебания. Так как оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью w, то угол между ними j=j1-j2 остается постоянным. Сложив оба вектора 
1 и 2по правилу параллелограмма, получим результирующий вектор . Как видно из рис.2, проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов х=х1+х2. С другой стороны: х=а·cos(wt+jо).
Следовательно, вектор вращается с той же угловой скоростью, что и векторы 1 и 2 и совершает гармоническое колебание, происходящее вдоль той же прямой, что и слагаемые колебания, и с частотой, равной частоте исходных колебаний. Здесь jо- начальная фаза результирующего колебания.
Как видно из рис.2, для определения амплитуды результирующего колебания можно использовать теорему косинусов, согласно которой имеем:
а2 = а12+ а22 - 2а1а2·cos[p - (j2 - j1)]
или
а = а12 + а22 + 2а1а2·cos(j2 - j1) (3)
Из выражения (3) видно, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз (j2 - j1) слагаемых колебаний. Если начальные фазы равны (j2=j1), то из формулы (3) видно, что амплитуда а равна сумме а1 и а2. Если разность фаз (j2 - j1) равна ±180о (т.е. оба колебания находятся в противофазе), то амплитуда результирующего колебания равна абсолютному значению разности амплитуд слагаемых колебаний: а = |а1 - а2|.
б) Тело участвует в двух колебаниях с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и различными частотами.
Уравнения для этих колебаний будут иметь вид:
х1 = а·sinw1t,
x2 = a·sinw2t.
При этом предполагается, что w1 мало отличается по величине от w2. Сложив эти выражения, получим:
х=х1+х2=2а·cos [ (w1-w2)/2 ] t+sin [ (w1+w2)/2 ] t=
=2а cos [ (w1-w2)/2 ] t sin wt (4 )
Результирующее движение представляет собой сложное колебание, называемое биениями (рис.3) Так как величина w1 -w2 мала по сравнению с величиной w1 +w2, то это движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой, равной полусумме частот складываемых колебаний w=(w1+w2)/2, и переменной амплитудой.
Рис. 3
Из (4) следует, что амплитуда результирующего колебания меняется по периодическому закону косинуса. Полный цикл изменения значений функции косинуса происходит при изменении аргумента на 3600, при этом функция проходит значения от +1 до -1. Состояние системы, совершающей биения в моменты времени, соответствующие указанным значениям функции косинуса в формуле (4), ничем не отличаются. Другими словами, циклы биений происходят с периодичностью, соответствующей изменению аргумента косинуса в формуле (4) на 1800. Таким образом, период Та изменения амплитуды при биениях (период биений) определяется из условия:
Та = 2p/(w1 - w2).
Учитывая, что w=2pn, получим:
Та = 2 p /2 p (n1- n2) = 1/(n1- n2). (5)
Частота изменения амплитуды результирующего колебания равна разности частот складываемых колебаний:
n=1/Та=n1-n2.
