Сложение двух гармонических колебаний одного направления

а) Тело участвует в двух гармонических колебаниях с одинаковыми круговыми частотами w, но с различными амплитудами и начальными фазами.

Уравнение этих колебаний запишутся следующим образом:

х₁ = а₁ cos(wt + j₁)

(2)

x₂ = a₂ cos(wt + j₂),

где х₁ и х₂ - смещения; а₁ и а₂ - амплитуды; w - круговая частота обоих колебаний; j₁ и j₂ - начальные фазы колебаний.

Выполним сложение этих колебаний при помощи векторной диаграммы. Представим оба колебания векторами амплитуд. Для этого от произвольной точки О, лежащей на оси х, отложим два вектора ₁ и ₂соответственно под углами j₁ и j₂ к этой оси (рис.2).

Рис. 2

Проекции этих векторов на ось х будут равны смещениям х₁ и х₂ согласно выражению (2). При вращении обоих векторов против часовой стрелки с угловой скоростью w проекции их концов на ось х будут совершать гармонические колебания. Так как оба вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью w, то угол между ними j=j₁-j₂ остается постоянным. Сложив оба вектора ₁ и ₂по правилу параллелограмма, получим результирующий вектор . Как видно из рис.2, проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов х=х₁+х₂. С другой стороны: х=а·cos(wt+j_о).

Следовательно, вектор вращается с той же угловой скоростью, что и векторы ₁ и ₂ и совершает гармоническое колебание, происходящее вдоль той же прямой, что и слагаемые колебания, и с частотой, равной частоте исходных колебаний. Здесь j_о- начальная фаза результирующего колебания.

Как видно из рис.2, для определения амплитуды результирующего колебания можно использовать теорему косинусов, согласно которой имеем:

а² = а₁²+ а²₂ - 2а₁а₂·cos[p - (j₂ - j₁)]

или

а = а₁² + а₂² + 2а₁а₂·cos(j₂ - j₁) (3)

Из выражения (3) видно, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности начальных фаз (j₂ - j₁) слагаемых колебаний. Если начальные фазы равны (j₂=j₁), то из формулы (3) видно, что амплитуда а равна сумме а₁ и а₂. Если разность фаз (j₂ - j₁) равна ±180^о (т.е. оба колебания находятся в противофазе), то амплитуда результирующего колебания равна абсолютному значению разности амплитуд слагаемых колебаний: а = |а₁ - а₂|.

б) Тело участвует в двух колебаниях с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и различными частотами.

Уравнения для этих колебаний будут иметь вид:

х₁ = а·sinw₁t,

x₂ = a·sinw₂t.

При этом предполагается, что w₁ мало отличается по величине от w₂. Сложив эти выражения, получим:

х=х₁+х₂=2а·cos [ (w₁-w₂)/2 ] t+sin [ (w₁+w₂)/2 ] t=

=2а cos [ (w₁-w₂)/2 ] t sin wt (4 )

Результирующее движение представляет собой сложное колебание, называемое биениями (рис.3) Так как величина w₁ -w₂ мала по сравнению с величиной w₁ +w₂, то это движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой, равной полусумме частот складываемых колебаний w=(w₁+w₂)/2, и переменной амплитудой.

Рис. 3

Из (4) следует, что амплитуда результирующего колебания меняется по периодическому закону косинуса. Полный цикл изменения значений функции косинуса происходит при изменении аргумента на 360⁰, при этом функция проходит значения от +1 до -1. Состояние системы, совершающей биения в моменты времени, соответствующие указанным значениям функции косинуса в формуле (4), ничем не отличаются. Другими словами, циклы биений происходят с периодичностью, соответствующей изменению аргумента косинуса в формуле (4) на 180⁰. Таким образом, период Т_а изменения амплитуды при биениях (период биений) определяется из условия:

Т_а = 2p/(w₁ - w₂).

Учитывая, что w=2pn, получим:

Т_а = 2 p /2 p (n₁- n₂) = 1/(n₁- n₂). (5)

Частота изменения амплитуды результирующего колебания равна разности частот складываемых колебаний:

n=1/Т_а=n₁-n₂.