Дифференциальные уравнения 2 страница

4.18 Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантируемого срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребует ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.

4.19 Найти вероятность разрушения объект, если для этого необходимо не менее трех попаданий, а сделано 15 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле, равна 0,4.

4.20 Пусть вероятность, того, что пассажир опоздает отправлению поезда, равна 0.02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 855 пассажиров.

Задача 5

5.1. Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной кости шестерка выпадает 10 раз?

5.2 Вероятность отказа каждого прибора при испытаний равна 0,2. Что вероятнее отказ четырехприборов при испытаний 20 или отказ шести приборов при испытании 30, если приборы испытываются независимо друг от друга?

5.3 Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии превысит суточную норму, равна 0,2. Какова вероятность того, что за 25 рабочихдней будет зафиксирован перерасход электроэнергии: а) в течение пяти дней, б) от пяти до семи дней включительно?

5.4 Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной кисти пятерка выпадет от 10 до 20 раз включительно?

5.5 Упаковщик укладывает 900 деталей, проверенных ОТК или изготовленных рабочими, имеющими личное клеймо. Вероятность того, что деталь помечена личным клеймом, равна 0,1. Найдите вероятность того, что среди них окажется от 100 до 120 деталей с личным клеймом?

5.6 Электростанция обслуживает сеть с 6000 лампочек, вероятность включение каждой из которых за время t равна 0,8. Найдите вероятность того, что одновременно будет включено не менее 4750 ламп.

5.7 Вероятность выигрыша на один билет лотереи равна 0,02. Какова вероятность того, что из100 билетов выигрыш выпадет: а) на два билета, б) хотя бы на один билет, в) на два или три билета?

5.8 Вероятность того, что изделие не выдержит испытания, равна 0,005. Найдите вероятность того,что из 600 проверяемых изделий не выдержат испытания более двух изделий.

5.9 Вероятность того, что на странице книги могут оказаться отпечатки, равна 0,0025. Проверяется книга, содержащая 800 страниц. Найдите вероятность того, что с опечатками окажутся: а) 5 страниц, б) от трех допяти страниц?

5.10 С торговой базы в магазин отправлено n доброкачественных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна р причем п велико, а р мало. Известно, что вероятность получение магазином четырех изделий, получивших дефекты, равна вероятности получения магазином пяти изделий с дефектами. Найдете вероятность того, что магазин получит семь изделий сдефектами.

5.11 Из полного набора костей домино наудачу 75 раз извлекают по одной кости причем после каждого извлечения кость возвращают в игру. Какова вероятность того, что при этом "дубль" появится 25 раз?

5.12 Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь 41-го размера, равна 0.2.Найти вероятность того, что из 750 покупателей не более 120 потребуют обувь этого размера.

5.13 Предполагая, что вероятность поражения мишени при одном
выстреле равна 0,6, найти вероятности следующих событий: а)при 12 выстрелах мишень будет поражена 7 раз; б) при 200 выстрелах мишень будет поражена не менее 111, но не более 130 раз.

5.14 Застраховано на один год а) 1000, 5) 4000 человек 20 летнего возраста. Страховой взнос каждого 15 тыс., руб. В случае смерти застрахованного наследникам выплачивается 1200 тыс. руб., какова вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке, если вероятность смерти на 21 году для каждого равна 0,006?

5.15 Известно, что 3/5 всего числа изготовляемых заводом телефонных аппаратов выпускается первым сортом. Изготовленные аппараты расположены один возле другого случайным образом. Приемщик берет первые попавшиеся 200 шт. Чему равна вероятность того, что среди них аппаратов 1 сорта окажется: а) от 120 до 150 шт., б) от 90 до 150 шт.

5.16 Проверкой качества изготовляемых на заводе часов установлено, что в среднем 98%их отвечает предъявленным требованиям, 2% нуждаются в дополнительной регулировке. Приемщик проверяет качество 300 изготовленных часов. Если среди них обнаружится 11 или более часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, то вся партия возвращается заводу для доработки. Определить вероятность того, чтопартия будет принята.

5.17 Вероятность выпуска нестандартной детали равна 0,1. Чему равна вероятность того, что в партии из 200 ламп: а) число стандартных будет не менее 1790 шт.; б)число нестандартных будет менее 101 шт.; в) число нестандартных будет менее 201 шт.?

5.18 Вероятность получения с конвейера изделия первого сорта 0,9. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут первого сорта.

5.19 С базы в магазин отправлено 4000 тщательно упакованных изделий. Вероятность того, что изделие повредится в пути, равна 0,0005. Найдите вероятность того, что в магазин прибудут 3 испорченных изделия.

5.20 В условиях задачи (5.18) найдите вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий от 530 до 532 (включительно) будут первого сорта.

Задача 6

В урне т белых и п черных шаров. Из урны вынули р шаров. Слу­чайная величина X - число вынутых белых шаров. Требуется:

1) построить ряд и многоугольник распределения дискретной случайной вели­чины X;

2) найти функцию распределения случайной величины X и начертить ее график;

3) найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне­ние случайной величины X;

4) найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, мень­ше p.

 

6.1) m=4 n=4 p=3

6.2) m=4 n=5 p=3

6.3) m=4 n=6 p=3

6.4) m=5 n=3 p=4

6.5) m=5 n=4 p=4

6.6) m=5 n=5 p=4

6.7) m=5 n=6 p=3

6.8) m=6 n=3 p=4

6.9) m=6 n=4 p=3

6.10) m=6 n=5 p=3

6.11) m=6 n=6 p=3

6.12) m=7 n=3 p=3

6.13) m=7 n=4 p=3

6.14) m=7 n=5 p=3

6.15) m=7 n=6 p=4

6.16) m=7 n=7 p=4

6.17) m=8 n=3 p=3

6.18) m=8 n=4 p=4

6.19) m=9 n=5 p=5

6.20) m=8 n=6 p=4

Задача 7

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения f(x). Найдите:

1) плотность распределения f(x);

2) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение случайной величины X;

3) вероятность попадания случайной величины в интервал (-1;2).

Начертите графики интегральной и дифференциальной функций случайной вели­чины X.

 

 

 

Задача 8

Дана плотность распределения непрерывной случайной величины f(x). Найдите:

1) постоянную распределения а;

2) функцию распределения F(x);

3) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины X;

4) вероятность попадания случайной величины в интервал (-2;1).

 

 

 

 

Задача 9

9.1 Принимая вероятность попадания в цель при выстреле равной 0,4, оценить вероятность того, что при 120 выстрелах окажется не более 80 попаданий. Найти приближенное значение этой вероятности, пользуясь интегральной теоремой Лапласа.

9.2 Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 120000 л в день.

9.3 Вероятность выпуска нестандартной радиолампы равна 25%. Оценить снизу вероятность того, что в партии из 1000 радиоламп число нестандартных отли­чается от 250 меньше, чем на 40.

9.4 Оценить вероятность того, что число лиц, имеющих высшее образование, в группе из 800 человек отличается от своего математического ожидания меньше, чем на 30.

9.5 За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое доста­точно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1 см, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины от­клонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не пре­взойдет 0.1 см.

9.6 Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 4. Определить число таких величин, при котором вероятность отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифме­тической их математических ожиданий не более, чем на 0.25 превысит 0.99.

9.7 Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой величи­ны, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.98, можно было утверждать, что сред­нее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной величине меньше, чем на 0.01,если дисперсия отдельного ре­зультата измерения не превосходит 1?

9.8 Для установления среднего размера детали в партии, размещенной в 100 ящи­ках с одинаковым количеством деталей в каждом, взяли по одной детали из каждого ящика. Вычислить верхний предел отклонения среднего размера детали в отобранной совокупности от среднего ее размера во всей партии, если результат необходимо гарантировать с вероятностью не меньше, чем 0.8, а дис­персия размера по каждому ящику не превышает 6.

9.9 Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 9. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения сред­ней арифметической случайных величин от средней арифметической их мате­матических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0.997?

9.10 Математическое ожидание количества выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 55 см. Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадает 175 см.

9.11 Среднее потребление электроэнергии за май месяц населением одного из микрорайонов г. Уфы равно 360000 кВт ч:

а)оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в мае текущего года превзойдет 1000000 кВт ч;

б)оценить ту же вероятность, если известно, что среднее квадратическое уклонение потребления электроэнергии в данном микрорайоне за май равно 40000 кВт ч.

9.12 На промысле имеется 30 буровых установок, каждая из которых может вый­ти из строя за данный промежуток времени с вероятностью 0.05. Какова веро­ятность того, что число буровых установок, вышедших из строя за данный промежуток времени, отличается от своего математического ожидания по аб­солютной величине не более _, чем на 4.

9.13 Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/ч. Какие скорости ветра можно ожидать на этой высоте с вероятностью, не мень­шей 0.9?

9.14 Используя неравенство Чебышева, найти вероятность того, что частота по­явления герба при ста бросаниях монеты отклонится от вероятности не более, чем на 0.1. Сравнить с вероятностью, полученной с помощью применения ин­тегральной теоремы Муавра-Лапласа.

9.15 Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения расхода газа на не­котором участке газопровода равно 30 м³/сут. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет 60 м³/сут.

9.16 Изнашивание орудия при стрельбе таково, что каждый выстрел уменьшает вероятность попадания в цель на 1%. При первом выстреле эта вероятность равна 0.8. Производится 100 выстрелов. Найти границы, в которых с вероятно­стью 0.85 будет заключено число попаданий.

9.17 Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 5. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0.4.

9.18 Среднее квадратическое отклонение каждого из 2134 независимых измере­ний расхода газа на участке газопровода не превосходит 4. Оценить вероят­ность того, что отклонение среднего арифметического этих величин от средне­го арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0.5.

9.19 За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое дос­таточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратиче­ское отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1, оценить вероятность того, что при 1000 измерений этой величины отклоне­ние найденного значения ее от истинного не превосходит 0.1 единицы.

9.20 Вероятность положительного исхода отдельного испытания р=-0.8. Оценить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклоне­ние частости положительных исходов от вероятности при отдельном испыта­нии к своей абсолютной величине будет меньше 0.05.

Задача 10

Задан закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y). Найдите законы распределения, математические ожидания и дисперсии составляющих X и Y, ковариацию и коэффициент корреляции.

 

10.1) 10.2)

 

X Y
0,1	0,6	0,07	0,12
0,4	0,01	0,1	0,1

X Y
3,3	0,05	0,15	0,1
4,4	0,15	0,05	0,15
5,5	0,2	0,1	0,05

 

10.3) 10.4)

 

X Y	1,3	1,5
	1/17	3/17
	4/17	2/17
	1/17	6/17

X Y	2,1	2,3	2,8
	0,11	0,22	0,33
	0,05	0,07	0,06
	0,06	0,03	0,07

 

10.5) 10.6)

X Y	9,3	9,8	9,9
	0,12	0,21	0,08
	0,1	0,38	0,11

 

X Y
3,4	1/21	1/7
4,3	1/3	2/21
5,2	3/21	5/21

 

 

X Y
1,2	1/15	0,1	7/30
1,4	1/3	0,1	1/6

10.7) 10.8)

 

X Y
0,3	1/27	1/9	1/3
0,6	8/27	4/27	2/27

 

 

10.9) 10.10)

 

X Y	1,4	1,9
	1/16	1/8
	7/16	3/16
	1/8	1/16

X Y
0,7	0,05	0,15	0,3
0,5	0,15	0,25	0,1

 

 

10.11) 10.12)

 

X Y
1,4	1/30	1/15	0,1	7/30
1,7	1/6	1/5	2/15	1/15

X Y	0,1	0,6
	0,1	0,15
	0,2	0,05
	0,3	0,2

 

 

10.13) 10.14)

X Y
1,3	0,1	0,2	0,3
1,5	0,2	0,1	0,1

X Y
0,1	1/15	1/5	2/15
0,2	1/15	2/15	1/15
0,4	1/5	1/15	1/15

 

 

10.15) 10.16)

X Y
1,2	1/30	7/15
1,4	2/5	0,1

X Y	1,5	1,3
	0,05	0,45
	0,15	0,1
	0,2	0,05

 

 

10.17) 10.18)

 

X Y
2,4	0,3	0,4
2,6	0,2	0,1

X Y
0,6	2/15	4/15	1/15
0,8	0,2	2/15	0,2

 

10.19) 10.20)

X Y	1,1	1,5
	0,1	0,25
	0,35	0,1
	0,15	0,05

X Y
0,1	3/40	1/20	1/10	1/40
0,5	7/40	1/5	3/20	9/40

 

Задача 11

Система случайных величин (X,Y) подчинена закону распределения с плотностью f(x,y). Найдите:

1) постоянную распределения системы а;

2) вероятность попадания случайной величины (X,Y) в область D;

3) математические ожидания , , дисперсии , ковариацию , коэф­фициент корреляции .

 

11.1)

11.2)

11.3)

11.4)

11.5)

11.6)

11.7)

11.8)

11.9)

11.10)

11.11)

11.12)

11.13)

11.14)

11.15)

11.16)

11.17)

11.18)

11.19)

11.20)

 

Задание 12

В урне m и n черных шаров. Из урны вынули р шаров. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Требуется:

1) построить ряд и многоугольник распределения дискретной случайной величины Х;

2) найти функцию распределения случайной величинв Х и начертить ее график;

3) найти математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратическое отклонение случайной величины Х;

4) найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше р.

12.1. m=4, n=4, p=3;

12.2. m=4, n=5, p=3;

12.3. m=4, n=6, p=3;

12.4. m=5, n=3, p=3;

12.5. m=5, n=4, p=4;

12.6. m=5, n=5, p=4;

12.7.m=5, n=6, p=4;

12.8.m=6, n=3, p=3;

12.9.m=6, n=4, p=4;

12.10.m=6, n=5, p=3;

12.11.m=6, n=6, p=3;

12.12.m=7, n=3, p=3;

12.13.m=7, n=4, p=3;

12.14.m=7, n=5, p=3;

12.15.m=7, n=6, p=4;

12.16.m=7, n=7, p=4;

12.17.m=8, n=3, p=3;

12.18.m=8, n=4, p=4;

12.19.m=8, n=5, p=5;

12.20.m=8, n=6, p=4;

Задача 13

Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(х). Найдите:

1)плотность распределения f(х);

2)математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение случайной величины Х;

3)вероятность попадания случайной величины в интервал (-1;2);

Начертите графики интегральной и дифференциальной функций случайной величины Х.

13.1 F(x)=

13.2 F(x)=

13.3 F(x)=

13.4 F(x)=

13.5 F(x)=

13.6 F(x)=

13.7 F(x)=