Теорема 6.2.5. Пусть даны два положительных ряда 
(6.2.1) и 
(6.2.2). Если члены ряда (6.2.1) не превосходят соответствующих членов ряда (6.2.2), т. е. 
(n=1, 2, 3), и ряд (6.2.2) сходится, то ряд (6.2.1) также сходится.
Теорема 6.2.6. Пусть даны два положительных ряда (6.2.1) и (6.2.2). Если члены ряда (6.2.1) не меньше соответствующих членов ряда (6.2.2), т. е. 
(n=1, 2, 3), и ряд (6.2.2) расходится, то ряд (6.2.1) также расходится.
Пример 6.2.7.Исследовать на сходимость ряд 
Оценим общий член данного ряда: 
. Ряд с общим членом bn=1/2n. сходится (геометрический ряд). По теореме 6.2.6. данный ряд также сходится.
Пример 6.2.8. Исследовать на сходимость ря 
Оценим общий член данного ряда: an= 
Последний ряд 
расходится (как узнаете позднее, это гармонический ряд). Следовательно по теореме 6.2.6.данный ряд так же расходится.
Отметим полезное следствие из доказанных выше теорем 6.2.5. и 6.2.6.
Теорема 6.2.7. Пусть даны два положительных ряда (6.2.1) и (6.2.2). Если существует конечный, отличный от нуля, предел отношения общих членов этих рядов: 
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Смысл этого следствия состоит в том, что если общий член ряда (6.2.1) и общий член ряда (6.2.2) являются бесконечно малыми (если общие члены этих рядов стремятся к нулю при 
, то an и bn можно рассматривать как бесконечно малые) одного и тогоже порядка (при )то сходимость одного из этих рядов влечет сходимость другого (а значит, и,наоборот, расходимость одного влечет расходимость другого).
Эту теорему можно прочитать следующим образом:
Если два ряда имеют общие члены одинакового порядка малости (при ), то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.
Пример 6.2.9. 
.
при . Поэтому можно ставить вопрос о том, сходится ли данный ряд. Возьмем 
т. к. ряд 
сходится (что будет доказано позднее!!!),то и данный ряд сходится.
Пример 6.2.10. 
Имеем 
Т. к. ряд с общим членом 1/n (гармонический ряд) расходится, то и теорема (6.2.7.) будет расходится и данный ряд.
II. Признак Даламбера (в предельной форме)
Теорема 6.2.8. Если для ряда с положительными членами существует конечный предел 
(6.2.5) отношения (n+1)-го члена к n-му, то
а) при Д<1 ряд расходится, а
б) при Д>1 – расходится.
Пример 6.2.11. Выяснить, сходится ли ряд 
Имеем: 
на основании признака Даламбера данный ряд сходится.
Пример 6.2.12. 
Имеем: 
Т. к. 
, то ряд расходится.
Пример 6.2.13. 
.
Признак Даламбера ответа не дает на вопрос о сходимости данного ряда. Между тем принцип сравнения рядов решает этот вопрос: 
при всех значениях n, а ряд с общим членом 
сходится. Следовательно, данный ряд сходится.
Пример 6.2.14. 
. следовательно, данный ряд расходится.
III. Признак Коши (в предельной форме)
Теорема 6.2.9.. Если для положительного ряда существует конечный предел 
, то
а) при С<1 ряд сходится, а
б) при С>1 – расходится.
Пример 6.2.15. 
- ряд сходится.
Замечание 6.2.1. Если 
, то ряд будет расходится.
Замечание 6.2.2. Если 
1) не существует или 2) равен 1, то признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
