Самостоятельная работа студентов (срс)

Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоя­тельной работы студентов: УМК дисциплины («Математика»).

 

5.1 Виды СРС

 

Наименование СРС	Количество часов по семестрам
Выполнение курсового проекта	-
Выполнение курсовой работы	-
Выполнение РЗ	-
Написание реферата по разделу дисциплины	-
Написание реферата по дисциплине ООП	-
Выполнение контрольной работы
Сдача коллоквиума	-
Самостоятельное изучение тем разделов программы Подготовка к практическим занятиям
Итого:

 

5.2 Примерный перечень домашних семестровых заданий для заочников

 

Семестр	Кол-во КР	Кол-во часов	Тема
I			Элементы линейной и векторной алгебры. Элементы аналитической геометрии. Основы дифференциального исчисления функции одной и нескольких переменных.
II			Неопределенный и определенный интегралы. Кратные и криволинейные интегралы. Элементы теории поля.
III			Обыкновенные дифференциальные уравнения. Числовые и функциональные ряды.
IV			Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистические методы обработки экспериментальных данных.
Итого: 160 часов

 

5.3 Примерный перечень тем курсовых проектов (работ).

Курсовые работы не предусмотрены.

 

5.4 Примерный перечень тем рефератов.

Рефераты не предусмотрены.

 

5.5 Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоя­тельной работы студентов:УМК дисциплины «Математика»).

 

Виды СРС

Наименование СРС	Количество часов по семестрам
Выполнение курсового проекта	-
Выполнение курсовой работы	-
Выполнение РЗ	-
Написание реферата по разделу дисциплины	-
Написание реферата по дисциплине ООП	-
Выполнение контрольной работы
Сдача коллоквиума	-
Самостоятельное изучение тем разделов программы Подготовка к практическим, лабораторным занятиям
Итого:

 

6.Методические указания к самостоятельной работе студентов.

Векторный анализ

ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ И ИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Определение 6.1.1. Векторным полем точки М называется векторная функция точки М вместе с областью ее определения.

Задание векторного пространственного поля равносильно заданию трех скалярных функций , , , являющихся проекциями вектора на координатные оси. Примерами векторных полей являются поле магнитной напряженности, поле сил тяготения, поле скоростей установившегося потока жидкостей и т.д.

Определение 6.1.2. Векторной линией поля называется такая линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора . Векторная линия обычно называется линией тока для поля скоростей, силовой линией – для силового поля.

Как известно, направляющие косинусы касательной пропорциональны дифференциалам , , . Для нахождения векторных линий поля векторов и

, (6.1.1)

где - проекция вектора на координатные оси.

Уравнения (6.1.1.) называются дифференциальными уравнениями векторных линий поля . Если - непрерывно дифференцируемые функции и в точке М вектор отличен от нуля, то через точку М проходит одна определенная векторная линия поля .

Пример 6.1.1. Найти векторные линии поля .

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид или , ;

, . Интегрируя, получим и , где и - произвольные постоянные. Векторными линиями являются окружности, расположенные в плоскостях, параллельных плоскости и в самой плоскости при .

Пример 6.1.2. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.

Решение. Будем считать, что проводник направлен по оси и в этом же направлении течет ток I. Вектор напряженности H магнитного поля, создаваемого током, равен

, (6.1.2)

где есть вектор тока, - радиус-вектор точки , - расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (6.1.2), получим

.

Дифференциальные уравнения векторных линий:

,

откуда

,

т.е. векторные линии являются окружностями с центрами на оси

ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ

Определение 6.1.3. Потоком П векторного поля через

двустороннюю поверхность называется поверхностный интеграл

второго рода.

, (6.1.3)

где - единичный вектор нормали к , указывающей её ориентацию; - элемент площади поверхности ; - проекция вектора на направление .

Дадим физическое истолкование формулы (6.1.2). Пусть - скорость жидкости, протекающей через произвольную (двустороннюю) поверхность . Рассмотрим разбиение поверхности на n частей с площадками . Тогда произведение равно количеству жидкости, протекающей через поверхность за единицу времени в

направлении вектора .

 

 

Интеграл , являющийся

пределом интегральной суммы

, дает полное количество жидкости, протекающей в единицу времени через в положительном направлении. Пусть - поле скоростей в стационарном течении жидкости, так что ее скорость в точке М зависит лишь от М, но не зависит от времени. Из сказанного выше следует, что поток скорости через ориентированную поверхность за единицу времени в том направлении, в котором ориентирована эта поверхность (физический смысл потока).

Вычисление потока

Вычисление методом проектирования на одну

из координатных плоскостей

Пусть поверхность задана уравнением .Единичный вектор нормали , но, как известно, .

Знак в правой части берется так, чтобы получить нормальный вектор именно к выбранной стороне поверхности.

Если поверхность задана уравнением , то .

Знак «+» соответствует выбору верхней стороны поверхности, нормаль к которой образует острый угол с осью и, следовательно, направляющий косинус положителен.

Известно также, что и .

Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость в область , тогда вычисление потока векторного поля через поверхность сводится к вычислению двойного интеграла

по области : . (6.1.4.)

Аналогично, если поверхность взаимно однозначно проектируется на плоскость или , то поток вычисляется по формулам ; .

Пример 6.1.3. Найти поток векторного поля через поверхность конуса и плоскость .

Решение. Обозначим потоки векторного поля: через боковую поверхность конуса и через плоскость .

Тогда весь поток П=П₁ +П₂ =

 

 

.

Вычислим . Уравнение :

.

 

Проекция вектора на ось отрицательна.

;

.

Из выражения для (6.1.3.) найдем

.

 

.

Вычислим . Уравнения поверхности : , , (На поверхности ),

.

Следовательно, .

Пример 6.1.4. Найти поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника с вершинами в точках , , .

Решение. Уравнение плоскости составим как уравнение

плоскости, проходящей через три точки

. Следовательно, ,

.

 

 

.

Пример 6. 1.5. Вычислить поток векторного поля

через внешнюю сторону однополостного гиперболоида ,ограниченного плоскостями .

Решение. Данная поверхность проектируется взаимно однозначно на плоскость в область , ограниченную окружностями

и .

Находим внешнюю нормаль : рис.6.1.5. .

Т.к. образует с осью тупой угол , то берем знак минус и, значит, .

Находим скалярное произведение .

Применяя формулу

,

получим .

Переходя к полярным координатам , , будем иметь

Вычисление потока методом проектирования

на все три координатные плоскости

 

Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости:

Тогда поток векторного поля равен

где знак перед каждым из двойных интегралом берется соответственно таким, каков знак , , на поверхности .

Пример 6.1.6. Найти поток векторного поля через треугольник, получаемый при пересечении плоскости с координатными плоскостями (выбор указан на рис. 6.1.6,).

Решение. Найдем . P[x(y,z),y,z]=(1-y-z)-2z=1-y-3z (выразили из уравнения плоскости)

.

По формуле (6.1.3) получим

Рис. 6.1.6

.

При вычислении потока векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра или через сферу удобно пользоваться соответственно цилиндрическими или сферическими координатами.

Пример 6.1.7. Найти поток векторного поля

через часть сферической поверхности , расположенную в первом октанте.

Решение. Найдем вектор- градиент ,

тогда единичный вектор ; .

По условию задачи поверхность находится в первом октанте, т.е. , , элемент площади в сферических координатах равен . Следовательно, поток через часть сферы вычисляется по формуле .

Вычисление потока методом введения

криволинейных координат на поверхности

 

В некоторых случаях при вычислении потока векторного поля через данную поверхность S возможно выбрать на самой поверхности простую систему координат, в которой удобно вычислять поток, не применяя проектирования на координатные плоскости.

Рассмотрим частные случаи.

Случай 1). Пусть поверхность S является частью кругового цилиндра , ограниченного поверхностями и .

Полагая , будем иметь для данной поверхности ,

, а для элемента площади dS получаем следующее выражение (рис.6. 1.8.):

.

Тогда поток векторного поля a

через внешнюю сторону поверхности S

вычисляется по формуле

, (6.1.5)

где

 

 

Рис.6.1.7.

 

Пример 6. 1.8. Вычислить поток радиуса-вектора

через боковую поверхность кругового цилиндра , ограниченного снизу плоскостью , а сверху – плоскостью .

Решение. В данном случае (рис. 6.1.7) имеем

.

Переходя к координатам на цилиндре

будем рис.6.1.8

иметь ,

Согласно формуле (6.1.4) поток вектора r

будет равен

Но так как на цилиндре

и, следовательно,

Случай 2). Пусть поверхность S является частью сферы , ограниченной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями .

Положим для точек данной сферы

где .

Тогда для элемента площади dS полу- чим (рис. 6.1.8)

.

В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть S сферы вычисляется по формуле

(6.1.6)

 

 

Рис.6.1.9.

где

Пример 6.1.9. Найти поток вектора

через часть поверхности сферы , расположенную в первом октанте, в область, где .

Решение. В данном случае имеем

, ,

Введем на сфере координаты и так, что

Тогда будет иметь

и, применяя формулу (6.1.5), получим

 

 

ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ.

ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО

Вычисление дивергенции

Определение 6.1.4. Отношение потока векторного поля через поверхность к величине объема называется средней объемной плотностью потока векторного поля.

В поле скоростей жидкости это отношение при определяет среднее количество жидкости, поступающей из единицы объема внутри поверхности за единицу времени. При определяет среднее количество жидкости, поглощаемой единицей объема за единицу времени.

Определение 6. 1.5. Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля называется объемная

плотность потока векторного поля в этой точке:

,

где V-объем, ограниченный замкнутой поверхностью , содержащей точку М.

Если координаты вектора непрерывны вместе со своими частными производными , , , то в декартовой системе координат дивергенция вычисляется по формуле

, (6.1.7)

где частные производные вычислены в точке М.

Пример 6.1.10. Вычислить дивергенцию поля радиус-вектора .

Решение.

.

Следовательно, в каждой точке поля радиус-вектора имеется источник, плотность которого равна трем единицам.

Формула Остроградского в векторной форме

 

Равенство (6.1.6.) позволяет записать формулу Остроградского в векторной форме. Если учесть, что

(6.1.8.)

является потоком векторного поля, тогда равенство

примет следующий вид:

. (6.1.9.)

Физический смысл формулы Остроградского заключается в том, что, если - вектор скорости жидкости, протекающей через тело ,тогда подынтегральное выражение в правой части равенства (6.1.8.) дает полное количество жидкости,вытекающей из тела или через поверхность за единицу времени (или втекающей в тело , если интеграл отрицателен).Если дивергенция равна нулю, то количество жидкости, втекающей внутрь тела, равно количеству жидкости, вытекающей из него.

Формула (6.1.9.) позволяет упростить вычисления потоков через замкнутую поверхность.

Пример 6.1.11. Вычислить поток поля через полную поверхность цилиндра

, .

Решение. Найдем дивергенцию

.

По формуле (6.1.9.)

.

Перейдем к циклическим координатам, тогда .

ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ В ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ.

ЦИРКУЛЯЦИЯ. ПЛОТНОСТЬ ЦИРКУЛЯЦИИ

Определение и вычисление циркуляции

Пусть L-пространственная кусочно-гладкая направленная линия и - непрерывное векторное поле, заданное в , где , , - проекции на координатные оси.

Определение 6.1.6. Криволинейный интеграл вида

,

взятый по некоторой направленной линии L, называется линейным интегралом от вектора вдоль линии L.

Пример 6. 1.12. Вычислить работу силового поля

вдоль отрезка AB прямой, проходящей через точки M₁(2,3,4) и M₂(3,4,5).

Решение. Работа данного силового поля будет равна линейному интегралу вдоль отрезка M₁M₂:

.

Находим канонические уравнения прямой M₁M₂. Имеем

Отсюда

Здесь x изменяется в пределах от 2 до 3 (так как абсцисса точки M₁ равна 2, а абсцисса точки M₂ равна 3). Искомая работа будет равна

.

Определение 6.1.7. Циркуляцией векторного поля по замкнутой линии L в области называется линейный интеграл по этой замкнутой линии L, обозначаемый через Ц и определяемый формулой , где - вектор-дифференциал.

В том случае, когда - силовое поле, линейный интеграл от вектора равен работе сил поля при перемещении тока по линии L(физический смысл циркуляции).

Найдем скалярное произведение векторов и . Вектор направлен по касательной к кривой L.

.

Тогда циркуляция принимает вид

.

Пример 6.1.13. Найти циркуляцию векторного поля по контуру АВСА, полученному при пересечении параболоида с координатными плоскостями

(рис.6. 1.9.).

Решение. .

1. На АВ: , ; .

Линейный интеграл

.

2. На ВС: , ,

.

3. На СА: , ; .

Таким образом, .

Знак минус указывает на то, что под действием сил поля контур будет вращаться в отрицательном направлении, т.е. по часовой стрелке.

Пример 6.1.14. Вычислить циркуляцию векторного поля

вдоль линии , получаемой пересечением конуса с координатными плоскостями (рис. 6.1.10).

Решение. Линия состоит из двух отрезков ВС и СА, расположенных на координатных плоскостях и соответственно и

дуги окружности

 

Рис. 6.1.10.

 

.

 

 

Поэтому циркуляция данного векторного поля будет равна

1. На отрезке ВС имеем ,

; , ;

.

Следовательно, .

2. На отрезке СА имеем , ; , ; .

Следовательно, .

3. На дуге окружности имеем , и значит, .

Искомая циркуляция векторного поля равна нулю.

Плотность циркуляции векторного поля

Пусть в векторном поле на поверхности дан замкнутый контур L, заключающий в себе точку М

(рис. 6.1.11.)

- единичный вектор нормали к

поверхности в т. М;

.

Пусть - площадь поверхности,

ограниченной контуром L.

 

Рис. 6.1.11.

Определение 6.1.8. Плотностью циркуляции в точке М называется предел отношения циркуляции к площади поверхности при условии стягивания контура к точке М.

. (6.1.10)

В проекциях плотность циркуляции выражается в виде .

Если подынтегральное выражение преобразовать по формуле Стокса, то получим

(6.1.11)

Частные производные вычислены в данной точке М.

 

РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. ТЕОРЕМА СТОКСА

В ВЕКТОРНОЙ ФОРМЕ

Определение 6.1.9. Ротор (или вихрь) векторного поля точки М обозначается и определяется формулой , (6.1.12)

где частные производные вычислены в точке М.

Для лучшего запоминания этот вектор можно записать в виде следующего символического определителя:

(6.1.13.)

Смысловое определение ротора вытекает из его связи с плотностью циркуляции поля; сравнивая формулы (6.1.10.) и (6.1.11.), можно записать

.

Если значение косинуса равно 1, то из последнего равенство . Таким образом, плотность циркуляции в точке М будет наибольшей в направлении ротора и равна его численному значению. Физический смысл ротора в поле скоростей заключается в том, что ротор представляет собой мгновенную угловую скорость вращения тела.

Пример 6.1.15. Найти ротор векторного поля .

Решение. Используя формулу (6.1.12), найдем проекции ротора

; ;

.

Следовательно, .

С помощью введенного можно записать формулу Стокса в векторной форме. Так как + ,

следовательно, в векторной форме это равенство имеет вид . (6.1.14) Итак, поток вектора через ориентированную поверхность равен циркуляции вектора вдоль положительного направления обхода контура L этой поверхности.

Пример 6.1.16. Найти циркуляцию векторного поля

по контуру , где ,

(рис. 6.1.12.)

Решение. Найдем , используя символическую запись (6.1.13)

 

.

В качестве поверхности , натянутой на контур , возьмем круг (в плоскости ), тогда , . По формуле (6.1.14) найдем циркуляцию, вычислив двойной интеграл в полярных координатах:

;

Пример 6.1.17. Вычислить циркуляцию векторного поля : по контуру .

Решение. Вычислим, применив формулу Стокса (6.1.13). Найдем

.

В качестве поверхности берем часть плоскости , ограниченную контуром .

При пересечении цилиндра и плоскости получится эллипс. Поверхность (эллипс) проектируется на плоскость в круг. Тогда , (из уравнения плоскости ).

;

.

 

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Основные понятия

Пусть дана бесконечная числовая последовательность: a₁, a₂, a₃,…, a_n,…

Выражение, которое получится, если все члены этой последовательности соеденить формально знаком плюс:

, (6.2.1)

называется числовым рядом (или просто рядом). Часто ряд записывают в виде , где указано, что индекс n пробегает все натуральные числа: 1, 2, 3,….

Числа a₁, a₂, a₃,…, a_n,… называются членами ряда, называют общим членом ряда (при произвольном n!!).

В арифметике и алгебре рассматривают суммы с конечным числом слагаемых. В ряде же слагаемых бесконечно много. Поэтому понятие суммы, состоящей из бесконечного числа слагаемых, требует некоторого специального определения. Что же понимают под выражением (6.2.1)?

Может оказаться, что иногда это выражение и лишнего чистого смысла.

Введем тонкое определение.

Возьмем сумму n первых членов ряда (6.2.1) и обозначим ее через S_n:

(6.2.2)

эту сумму называют n-й частичной суммой ряда (6.2.1). При этом под S₁ понимают a₁.

Давая в (6.2.2) «n» последовательных значений 1, 2, 3,…, получим последовательность частичных сумм:

Возможны два случая:

1) либо эта последовательность имеет конечный предел

2) либо она не имеет конечного предела (стремится к ¥ или вовсе не стремится

ни к какому пределу).

Определение 6.2.1. Если последовательность частичных сумм (или иначе частичная сумма S_n) имеет конечный предел , то ряд (6.2.1) называется сходящимся, а сам этот предел называется суммой ряда.

При этом пишут: или .

Если же последовательность частичных сумм не имеет предела то ряд (6.2.1) называется расходящимся.

Расходящийся ряд не имеет суммы в том смысле как мы ее определили.

Однако в том случае когда , пишут , а также S=¥.

Пример 6.2.1. Пользуясь непосредственно определением суммы ряда, показать, что ряд сходится и найти его сумму.

Представим общий член ряда в виде суммы двух дробей:

Тогда частичную сумму S_n данного ряда можем переписать так:

В соответствии с определением надо выяснить существует ли конечный предел S_n при n®¥:

следовательно данный ряд сходится и его сумма S=1.

Решение. n=-1; A=1/3; B=-1/3.

S_n-?

Пример 6.2.2. Исследование сходимости ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

Рассмотрим ряд

(6.2.3)

составленный из членов геометрической прогрессии. Часто данный ряд называют геометрическим рядом.

Выясним, при каких значениях q ряд (6.2.3) сходится.

Составим частичную сумму S_n ряда:

по формуле для суммы n первых членов геометрической прогрессии

= (6.2.4)

а) если <1 (прогрессия убывающая), то , поэтому существует и

следовательно, в случае, когда <1, ряд (6.2.3) сходится и его сумма равна .

б) Если >1, то , а тогда (т. к. a¹0) и

Значит, в случае, когда >1, ряд (6.2.3) расходится.

в) если q=-1, то частичная сумма S_n принимает вид:

Отсюда ясно что в этом случае S_n при n®¥ предела не имеет и ряд (6.2.3) расходится.

г) При q=1 формула (6.2.4) лишена смысла. Но ясно непосредственно, что в этом случае

Значит в случае q=1 ряд (6.2.3) также расходитс я.

Вывод. Итак геометрический ряд 1) сходится при <1 и 2) расходится ³1 (a¹0), причем при <1 имеем известную (из школьного курса математики) формулу суммы членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.