При нарушении закона Дарси зависимость между скоростью фильтрации w и градиентом давления dp/ds лучше всего описывается двучленной формулой
(II.8)
которая выражает плавный переход от линейного закона фильтрации к нелинейному. При малых значениях скорости aw >> bw2 пренебрегаем вторым членом и получаем закон Дарси; при значениях w > wкр слагаемые aw и bw2 имеют одни и тот же порядок; при больших скоростях фильтрации aw << bw2 и можно принять
(II.9)
что соответствует квадратичному закону сопротивления и имеет место при фильтрации в крупнозернистых и трещиноватых породах. Формула (II.9) называется формулой А. А. Краснопольского.
Коэффициенты а и b определяются либо экспериментально, либо а по формуле a = μ/k, a b — приближенно по формуле, предложенной А. И. Ширковским
(II.10)
где ρ — плотность в кг/м3; k — коэффициент проницаемости в Д; m — коэффициент пористости в долях единицы.
Можно записывать закон фильтрации, отличный от закона Дарcи, в виде одночленной степенной зависимости между скоростью фильтрации и градиентом давления
(II.11)
где sign — знак производной dp/ds; с и п — некоторые постоянные, определяемые опытным путем, причем 1 < n ≤ 2, n = 2 соответствует закону Краснопольского.
Используя принцип однородности размерностей, можно найти выражение для коэффициента С
(II.12)
где f (m) = l0 m 2,3.
Задача 16
Определить значение числа Рсйнольдса у стенки гидродинамически несовершенной по характеру вскрытия нефтяной скважины, если известно, что эксплуатационная колонна перфорирована, на каждом метре длины колонны прострелено 10 отверстий диаметром do=10 мм, мощность пласта h = 15 м,. проницаемость пласта k=1 Д, пористость его m = 18%, коэффициент вязкости нефти μ = 4 мПа∙с, плотность нефти ρ = 870 кг/м3 и дебит скважины составляет 140 м3/сут.
Ответ: Re =15,6 (по формуле Щелкачева),
Re = 0,396 (по формуле Миллионщикова).
Задача 17
Определить радиус призабойной зоны rкр, в которой нарушен закон Дарcи, при установившейся плоскорадиальной фильтрации идеального газа, если известно, что приведенный к атмосферному давлению дебит скважины Q aт = 2∙106 м3/сут, мощность пласта h = 10 м, коэффициент проницаемости k= 0,6 Д, коэффициент пористости пласта m =19%, динамический коэффициент вязкости газа в пластовых условиях μ =1,4∙10-5 кг/м∙с, плотность газа при атмосферном давлении и пластовой температуре ρат = 0,7 кг/м3.
Указание. В решении использовать число Рейнольдса по Формуле М. Д. Миллионщикова и за Reкр взять нижнее значение Reкр = 0,022.
Ответ: Reкр = 7,9 м.
Задача 18
Определить по формуле Щелкачева, происходит ли фильтрация в пласте по закону Дарси, если известно, что дебит нефтяной скважины Q = 200 м3/сут, мощность пласта h = 5 м, коэффициент пористости m=16%, коэффициент проницаемости k = 0,2 Д, плотность нефти ρ = 0,8 г/см3, динамический коэффициент вязкости ее μ = 5 мПа∙с. Скважина гидродинамически совершенна, радиус ее rс = 0,1 м.
Ответ: Re = 0,036< Reкр = 1.
Задача 19
Дебит газовой скважины, приведенный к атмосферному давлению при пластовой температуре Qат = 2∙106 м3/сут, абсолютное давление на забое pс = 7,84 МПа (80 кгс/см2), мощность пласта h =10 м, коэффициент пористости пласта m = 18%, коэффициент проницаемости k =1,2 Д, средняя молекулярная масса газа 18, динамический коэффициент вязкости в пластовых условиях μ = 0,015 мПа∙с, температура пласта 45° С.
Определить, имеет ли место фильтрация по закону Дарси в призабойной зоне совершенной скважины радиусом rс = 10 см.
Решение. Определим плотность газа у забоя скважины. Для этого найдем плотность газа при 0°С и 760 мм рт. ст. (0,1013 МПа)
ρ0 = 18/22,4 = 0,804 кг/м3,
и при условиях на забое
кг/м3
Скорость фильтрации на забое равна
м/с
Число Рейнольдса по Щелкачеву
по Миллионщикову
т. е. в призабойной зоне нарушается закон Дарси.
