Закон фильтрации Дарси устанавливает линейную зависимость между объемным расходом несжимаемой жидкости и потерей напора, приходящейся на единицу длины, и имеет вид
(I.9)
где и - полные напоры в начальном и конечном сечениях образца пористой среды (скоростные напоры отброшены вследствие их малости); l — длина образца; ω — площадь поперечного сечения (рис. 3); с — коэффициент фильтрации, зависящий как от свойств пористой среды, так и от свойств фильтрующейся жидкости.
Учитывая, что (H1-H2)/l = i — гидравлический уклон, (1.9) можно записать так:
Q = ciω (I.10)
деля обе части последнего равенства на ω, получим
w = ci. (I.11)
Способность пористой среды пропускать сквозь себя жидкости и газы называется проницаемостью. Это свойство характеризуется коэффициентом проницаемости k. В отличие от коэффициента фильтрации с коэффициент проницаемости k зависит только от свойств пористой среды.
При решении задач нефтяной подземной гидравлики удобнее записывать закон Дарси, пользуясь коэффициентом проницаемости:
(I.12)
или
где p1* = ρgz1 + p1 p2* = ρgz2 + p2 — давления, приведенные к плоскости отсчета геометрических высот.
Закон Дарси в дифференциальной форме имеет вид
(I.13)
где s — координата вдоль линии тока.
Коэффициенты проницаемости и фильтрации связаны соотношением
(1.14)
Коэффициент проницаемости имеет размерность площади, а коэффициент фильтрации — размерность скорости.
На практике проницаемость нефтяных и газовых пластов измеряется единицами, называемыми дарси (Д). За единицу проницаемости 1 Д принимают проницаемость такой пористой среды, при фильтрации через образец которой площадью 1 см2, длиной 1 см при перепаде давления в 1 кгс/см2 (98 000 Па) расход жидкости вязкостью 1 сП (1 мПа∙с) составляет 1 см3/с. Величина, равная 0,001 Д, называется миллидарси (мД), 1 Д= 1,02∙10-8 см2 = 1,02.10-12 м2.
Проницаемость реальных пластов изменяется от нескольких миллидарси до нескольких дарси.
Задача 1
Определить пористость ячейки фиктивного грунта (по Слихтеру) в случае, когда угол грани ромбоэдра θ =90° (рис. 4)
Ответ: m = 47,6%.
Задача 2
Показать, что пористость т и просветность п фиктивного грунта не зависят от диаметра частиц, слагающих грунт. Рассмотреть случай, когда угол грани ромбоэдра θ = 90 ° (рис.4).
Решение. Рассмотрим основную ячейку фиктивного грунта по Слихтеру. Пористость этого элемента
откуда следует, что пористость m не зависит от диаметра.
Аналогично для просветности
Задача 3
Определить удельную поверхность песка (поверхности песчинок, заключенных в 1 м3 песчаного пласта), пористость которого m = 25% и эффективный диаметр песчинок dэ =0,2 мм. Найти также число частиц в единице объема пласта, принимая их форму сферической.
Ответ:
Задача 4
Определить пористость фиктивного грунта (по Слихтеру) при наиболее плотной укладке шаровых частиц, соответствующей значению острого угла грани ромбоэдра θ = 60° (рис. 5).
Решение. Объем основной ячейки фиктивного грунта
Значение sin α найдем следующим образом:
из
из
из
Подставляя h и ω, получим
Объем скелета ячейки равен объему одной шаровой частицы
Пористость фиктивного грунта при θ = 60° будет
Задача 5
Определить эффективный диаметр песчинок dэ по способу Крюгера — Цункера для песка следующего механического состава:
Диаметр частиц 0 – 0,05 0,05 – 0,1 0,1 – 0,2 0,2 – 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 1,0
мм
Δ gi,, вес. % 6,9 38,6 44,2 6,3 3,3 0,7
Ответ: dэ = 0,09 мм.
Задача 6
Сопоставить число частиц диаметром d, заключенных в 1 м3 фиктивного грунта, при наиболее свободном расположении частиц (θ = 90°) и при их наиболее тесном расположении (θ = 60°).
Решение. Обозначим число частиц в 1 м3 грунта при θ = 90° через N, а при θ = 60° —через N1. Тогда
Задача 7
Построить кривую механического состава грунта и определить эффективный диаметр грунта по способу Газена, используя следующие данные.
Диаметр частиц 0 – 0,05 0,05 – 0,1 0,1 – 0,2 0,2 – 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 1,0
мм
Δgi,, вес. % 1,5 5,3 7,2 40,1 35,7 10,2
Ответ: dэ = 0,11 мм.
Задача 8
Определить коэффициент проницаемости пористой среды (в дарси), если известно, что коэффициент фильтрации с = = 0,3∙10-4 см/с, а кинематический коэффициент вязкости фильтрующейся жидкости v = 10-6 м2/с. Фильтрация жидкости происходит но закону Дарси.
Ответ: k = 30 мД.
Задача 9
Определить коэффициент фильтрации, если известно, что площадь поперечного сечения образца песчаника ω = 30 см2, длина образца l = 15 см, разность давлений на входе жидкости в образец и на выходе Δ p = 19,6кПа (0,2 кгс/см2), плотность жидкости ρ = 1000 кг/м3 и расход равен 5 л/ч.
Ответ: с = 3,47∙10-3 см/с.
Задача 10
Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения нефти у стенки гидродинамически совершенной скважины и на расстоянии r = 75 м, если известно, что мощность пласта h = 10 м, коэффициент пористости m = 12%, радиус скважины rс = 0,1 м, массовый дебит скважины Qm = 50 т/сут и плотность нефти ρ = 850 кг/м3.
Ответ: wс = 1,09∙10-4 м/с; υс = 0,91∙10-3 м/с; w = 1,45∙10-7 м/с; υ = 1,21∙10-6 м/с.
Задача 11
Определить объемный дебит Qc и скорость фильтрации газа wc у стенки гидродинамически совершенной скважины, если известно, что приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре объемный дебит газа Qat = 106 м3/сут, радиус скважины rс = 0,1 м, мощность пласта h = 20 м, абсолютное давление газа на забое рс = 4,9 МПа (50 кгс/см2).
Ответ: Qc = 0,239 м3/с; w = 0,019 м/с.
Задача 12
Определить коэффициент пористости, зная, что скорость движения через образец, определяемая при помощи индикатора, равна υ = 3∙10-2 см/с, коэффициент проницаемости k = 0,2 Д, вязкость жидкости μ = 4 мПа∙с и разность давлений Δ р = 2 кгс/см2 при длине образца l = 15 см.
Ответ: m = 22%.
Задача 13
Определить среднее значение скорости фильтрации у входа жидкости в гидродинамически несовершенную по степени вскрытия скважину, если мощность пласта h = 25 м, относительное вскрытие пласта = 0,6, радиус скважины rс = 0,1 мг дебит жидкости Q = 250 м3/сут.
Ответ: w = 0,0308 см/с.
Задача 14
Определить коэффициенты проницаемости и фильтрации для цилиндрического образца пористой среды диаметром d = 5 см, длиной l = 20 см, если разность давлений на концах образца составляет 300 мм рт. ст., расход жидкости Q = 1,70 л/ч, динамический коэффициент вязкости жидкости μ = 5 мПа∙с, плотность ее ρ = 0,85 г/см3. Найти также скорость фильтрации.
Ответ: k = 5,9 Д; с= 10-3см/с; w = 0,024 см/с.
Задача 15
Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения при плоскорадиалыюй фильтрации газа к скважине в точке на расстоянии r = 150м от центра скважины, если давление в этой точке равно р = 7,84 МПа (80 кгс/см2), мощность пласта h = 12 м, пористость его m = 20%, а приведенный к атмосферному давлению и пластовой температуре дебит Q ат = 2∙106 м3/сут, р ат = 0,1 МПа.
Ответ: w = 0,262∙10-4 м/с; υ = l,31∙10-4 м/с.