Математическое описание объекта управления

И внешней среды

Физическую систему, вкоторой осуществляется управление процессами, будем называть объектом управления. Это могут быть:

производственные предприятия: отдел, цех, завод, отрасль промышленности;

экономические системы: экономика предприятия, экономика отрасли промышленности.

Обозначим через х переменную, определяющую состояние объекта управления. Иногда она является одномерной или скалярной величиной.

В большинстве случаев для описания объекта управления требуется не одна, а несколько переменных х₁,.., х_N. Они имеют различную физическую природу. Так например объемы выпускаемой продукции, а также производственные мощности или ресурсы отдельных отраслей промышленности. В этом случае состояние объекта управления будет описываться многомерной, т. е. векторной переменной

х=(х₁..., x_N).

Величины х_i могут изменяться непрерывно в некотором диапазоне значений или принимать конечное множество значений. В последнем случае k-e значение будем обозначаться следующим образом

Тогда множество

будет представлять собой пространство возможных состояний объекта управления.

Если величины х_i могут изменяться непрерывно, т. е. принимают бесконечное множество значений, то пространство возможных состояний системы X будет бесконечным множеством. Однако и в этом случае значения х_i обычно не могут быть какими угодно. На них могут накладываться ограничения (объемы ресурсов, возможности технологического оборудования), которые, как уже отмечалось, обычно имеют вид систем алгебраических уравнений или неравенств

Часто переменные х_i должны удовлетворять условию не отрицательности

Условие не отрицательности переменных определяется тем, что величины х_i не могут быть отрицательными по своему физическому смыслу (затраты, выпуск продукции, объемы перевозимых товаров, размещенные различным образом суммы денег и т. п.). Задачи, в которых переменные могут быть произвольного знака, т. е. удовлетворяют ограничениям вида

где а_i — произвольные числа, легко преобразуются в задачи с неотрицательными переменными путем введения новых переменных

Наряду с переменной х_i состояние объекта управления может зависеть от множества неконтролируемых или не полностью контролируемых факторов, определяемых совокупностью внешних условий, в которых находится объект управления. К примеру, эпидемия гриппа или природные катаклизмы, срывы поставок, скачки цен на рынке и т.п.

Полную совокупность неконтролируемых внешних факторов, оказывающих влияние на процесс управления, будем называть состоянием природы и обозначать через J. Во многих случаях путем некоторой идеализации реальных явлений удается свести все бесчисленное многообразие внешних условий к конечному числу возможных состояний природы , т. е. ввести в рассмотрение конечное множество

называемое далее пространством состояний природы (внешней среды). Элементы множества в общем случае являются многомерными величинами

Невозможность полного контроля всех внешних факторов приводит к тому, что вместо точного знания состояния природы во многих случаях приходится ограничиваться лишь знанием вероятностей различных состояний природы

В ряде случаев состояние природы необходимо рассматривать как непрерывную случайную величину, для которой пространство состояний природы представляет собой бесконечное множество. В таких случаях распределение вероятностей превращается в плотность распределения вероятностей.

Для описания целенаправленного воздействия на объект управления введем переменную и, которую будем называть управляющим воздействием или просто управлением. Слово управление будет в дальнейшем использоваться в двух смыслах:

1) управление как организационная деятельность, направленная на достижение определенных целей;

2) управление в смысле управляющего воздействия, т. е. некоторой физической величины, изменение которой производится по нашему желанию и которая воздействует на характер процессов в объекте управления, изменяя их в нужном направлении.

При управлении сложными объектами обычно приходится использовать несколько управляющих воздействий , такчто управление и представляет собой в общем случае многомерную величину

Управляющие воздействия и_i (финансовые вливания в производство, замена технологического оборудования, изменение работников) в реальных системах не могут быть взяты какими угодно, а подвержены различного рода ограничениям. Обозначим через U множество всех значений управлений и, которые удовлетворяют поставленным ограничениям. При этом любое uÎU будет допустимым управлением.

Судить о том, насколько примененное управление и обеспечивает достижение поставленных целей, можно по значениям переменных состояния х. Однако во многих случаях это оказывается неудобным, так как цели управления могут выражаться через переменные состояния достаточно сложным образом. Поэтому наряду с переменными состояния х удобно ввести в рассмотрение выходные переменные q, выражающие цели управления в явном виде.

Рис. 1. Структурная схема объекта управления

Выходными переменными могут быть не только физические величины, но и экономические показатели, например, прибыль предприятия. В частности, критерий качества управления также может рассматриваться как выходная переменная.

Выходная переменная q зависит в первую очередь от состояния объекта управления х. Однако на нее могут оказывать влияние используемое управление и и внешние неконтролируемые факторы J. Следовательно, уравнение для выходной переменной в общем случае имеет вид:

q = Q(x, и,J).

Взаимодействие всех рассмотренных выше переменных можно наглядно представить в виде структурной схемы объекта управления, показанной на рис. 1.