Нормальный вид квадратичной формы
Для действительной квадратичной формы
где r = rank A.
Для комплексной квадратичной формы
r = rank A.
Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.
Классификация действительных квадратичных форм
Положительно-определенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны (критерий Сильвестра).
Отрицательно-определенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда
Положительно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.
Отрицательно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых таких, что Нормальный вид r < n, r = rank A.
Неопределенные
Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид: r = rank A.
Сравнения по модулю и их свойства
Сравнимые числа
Говорят, что целое число сравнимо с целым числом по модулю , где — целое число, большее , если разность делится на без остатка.
Или, что то же самое, если числа и имеют одинаковый остаток от деления на .
Из определения следует, что если сравнимо с по модулю , то и сравнимо с по тому же модулю . Поэтому говорят просто, что числа и сравнимы по модулю .
Обозначение: . Знак (сравнимо) по начертанию совпадает со знаком "тождественно равно", но по смыслу не имеет с ним ничего общего.
Примеры: . Иногда удобно записывать цепочку сравнений. Тогда модуль указывается один раз в конце цепочки: .
Сравнение
Запись , где , , называется сравнением (сравнением первой степени) и означает, что число сравнимо с числом по модулю .
Свойства сравнений
1. Сравнимость с нулём. сравнимо с по модулю , тогда и только тогда, когда делится на . .
2. Рефлексивность. для любого целого .
3. Симметричность. Для любых целых и верно: .
4. Транзитивность. Для любых целых , и верно: .
5. Аддитивность. Если и , то .
6. Мультипликативность. Если и , то .
7. Умножение модуля. Если и и НОК , то .
8. Правила сокращения для сравнений следующие.
· Можно делить обе части сравнения на число, взаимно простое с модулем: если и , то .
· Можно одновременно разделить обе части сравнения и модуль на их общий делитель: если , то .
Классы вычетов
Множество всех чисел сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n, и обычно обозначается или . Таким образом, сравнение равносильно равенству классов вычетов .