Нормальный вид квадратичной формы
Для действительной квадратичной формы
где 
r = rank A.
Для комплексной квадратичной формы
r = rank A.
Для действительных квадратичных форм имеет место закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения квадратичной формы к нормальному виду с помощью невырожденных линейных преобразований.
Классификация действительных квадратичных форм
Положительно-определенные
Квадратичные формы, для которых 
таких, что 
Нормальный вид 
Квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны 
(критерий Сильвестра).
Отрицательно-определенные
Квадратичные формы, для которых 
таких, что Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда 
Положительно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых 
таких, что Нормальный вид 
r < n, r = rank A.
Отрицательно-полуопределенные
Квадратичные формы, для которых 
таких, что Нормальный вид 
r < n, r = rank A.
Неопределенные
Квадратичные формы, которые принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нормальный вид: 
r = rank A.
Сравнения по модулю и их свойства
Сравнимые числа
Говорят, что целое число 
сравнимо с целым числом 
по модулю 
, где — целое число, большее 
, если разность 
делится на без остатка.
Или, что то же самое, если числа и имеют одинаковый остаток от деления на .
Из определения следует, что если сравнимо с по модулю , то и сравнимо с по тому же модулю . Поэтому говорят просто, что числа и сравнимы по модулю .
Обозначение: 
. Знак 
(сравнимо) по начертанию совпадает со знаком "тождественно равно", но по смыслу не имеет с ним ничего общего.
Примеры: 
. Иногда удобно записывать цепочку сравнений. Тогда модуль указывается один раз в конце цепочки: 
.
Сравнение
Запись , где 
, 
, называется сравнением (сравнением первой степени) и означает, что число сравнимо с числом по модулю .
Свойства сравнений
1. Сравнимость с нулём. сравнимо с 
по модулю , тогда и только тогда, когда делится на . 
.
2. Рефлексивность. 
для любого целого .
3. Симметричность. Для любых целых и верно: 
.
4. Транзитивность. Для любых целых , и 
верно: 
.
5. Аддитивность. Если и 
, то 
.
6. Мультипликативность. Если и , то 
.
7. Умножение модуля. Если и 
и 
НОК 
, то 
.
8. Правила сокращения для сравнений следующие.
· Можно делить обе части сравнения на число, взаимно простое с модулем: если 
и 
, то 
.
· Можно одновременно разделить обе части сравнения и модуль на их общий делитель: если 
, то .
Классы вычетов
Множество всех чисел сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n, и обычно обозначается 
или 
. Таким образом, сравнение равносильно равенству классов вычетов 
.
