Задача, приводящие к понятию поверхностного интеграла
Задача о массе поверхности. Требуется найти массу материальной поверхности 
, на которой распределена масса с плотностью 
.
Разобьем поверхность сетью дуг на 
элементарных частей, площади каждой из которых равны 
, а диаметр 
. Выберем в каждой из них точку 
, будем считать, что плотность каждой части постоянна и равна 
. Тогда массу каждой элементарной части можно считать равной 
. Сумма всех таких произведений приближенно выражает массу всей заданной материальной поверхности 
. Будем увеличивать число разбиений так, чтобы наибольший из диаметров областей 
стремился к нулю.
Тогда массу материальной поверхности можно найти по формуле 
.
Понятие поверхностного интеграла
Пусть дана некоторая поверхность , в точках которой определена непрерывная функция 
. Разобьем поверхность на частей площадью 
и с диаметром . В каждой из частей выберем произвольную точку 
. Составим сумму 
. Будем увеличивать число точек разбиения таким образом, чтобы наибольший из диаметров частичных областей стремился к нулю.
Определение 1. Поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности называется предел интегральной суммы при 
(
), независящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек . Обозначается 
.
Теорема 1. Если поверхность гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует.
Основные свойства интеграла первого рода
Основные свойства поверхностного интеграла первого рода.
.
.
Следствие 1. Имеется в виду алгебраическая сумма функций.
Следствие 2. Данное свойство справедливо для любого конечного числа функций.
Если поверхность разбить на части 
и 
такие, что 
,а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, то
.
Если на поверхности выполняется неравенство 
, то 
.
.
.
(Теорема о среднем). Если непрерывна на , то на ней существует точка 
такая, что 
.
Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Пусть поверхность задана уравнением вида 
, тогда поверхностный интеграл можно вычислить по формуле:
,
где 
– проекция на плоскость 
.
Если поверхность задана 
или 
, то формулы принимают вид:
, 
,
где и 
– проекции на плоскости 
и 
соответственно.
Приложения поверхностного интеграла первого рода
Площадь поверхности. Пусть поверхность задана уравнением , ее проекция на плоскость есть область 
. Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле .
Масса поверхности. Плотность распределения массы поверхности задана функцией 
. Масса поверхности вычисляется по формуле 
.
Статистические моменты. Статистические моменты поверхности с плотностью находятся по формулам
, 
, 
.
Координаты центра тяжести. Координаты центра тяжести поверхности с плотностью находятся по формулам
, 
, 
.
Моменты инерции. Моменты инерции материальной поверхности с плотностью находятся по формулам
, 
, 
, 
