Поверхностный интеграл 1-го рода

Задача, приводящие к понятию поверхностного интеграла
Задача о массе поверхности. Требуется найти массу материальной поверхности , на которой распределена масса с плотностью .

Разобьем поверхность сетью дуг на элементарных частей, площади каждой из которых равны , а диаметр . Выберем в каждой из них точку , будем считать, что плотность каждой части постоянна и равна . Тогда массу каждой элементарной части можно считать равной . Сумма всех таких произведений приближенно выражает массу всей заданной материальной поверхности . Будем увеличивать число разбиений так, чтобы наибольший из диаметров областей стремился к нулю.
Тогда массу материальной поверхности можно найти по формуле .

Понятие поверхностного интеграла
Пусть дана некоторая поверхность , в точках которой определена непрерывная функция . Разобьем поверхность на частей площадью и с диаметром . В каждой из частей выберем произвольную точку . Составим сумму . Будем увеличивать число точек разбиения таким образом, чтобы наибольший из диаметров частичных областей стремился к нулю.

Определение 1. Поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности называется предел интегральной суммы при (), независящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек . Обозначается .
Теорема 1. Если поверхность гладкая (в каждой ее точке существует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с перемещением точки по поверхности), а функция непрерывна на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует.

Основные свойства интеграла первого рода
Основные свойства поверхностного интеграла первого рода.

1. 
   .
2. 
   .

Следствие 1. Имеется в виду алгебраическая сумма функций.

Следствие 2. Данное свойство справедливо для любого конечного числа функций.

1. 
   Если поверхность разбить на части и такие, что ,а пересечение и состоит лишь из границы, их разделяющей, то

.

1. 
   Если на поверхности выполняется неравенство , то .
2. 
   .
3. 
   .
4. 
   (Теорема о среднем). Если непрерывна на , то на ней существует точка такая, что .

Вычисление поверхностного интеграла первого рода
Пусть поверхность задана уравнением вида , тогда поверхностный интеграл можно вычислить по формуле:

,

где – проекция на плоскость .

Если поверхность задана или , то формулы принимают вид:

, ,
где и – проекции на плоскости и соответственно.

Приложения поверхностного интеграла первого рода
Площадь поверхности. Пусть поверхность задана уравнением , ее проекция на плоскость есть область . Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле .
Масса поверхности. Плотность распределения массы поверхности задана функцией . Масса поверхности вычисляется по формуле .
Статистические моменты. Статистические моменты поверхности с плотностью находятся по формулам

, , .
Координаты центра тяжести. Координаты центра тяжести поверхности с плотностью находятся по формулам

, , .

Моменты инерции. Моменты инерции материальной поверхности с плотностью находятся по формулам
, , ,