Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Пусть V₁ — подпространство n-мерного линейного пространства V и А — линейный оператор из L(V, V).
Определение 1. Пространство V₁ называется инвариантным подпространством оператора А, если для каждого х, принадлежащего V₁, элемент Ах также принадлежит V₁.
Примерами инвариантных подпространств оператора А могут служить ker А и im A.
Определение 2. Число λ называется собственным значением оператора А, если существует ненулевой вектор х такой, что

Ах = λх. (5.30)

При этом вектор х называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению λ.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5.8. Для того чтобы числоλбыло собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора А.
Следствие. Каждый линейный оператор имеет собственное значение.
Действительно, характеристическое уравнение всегда имеет корень (в силу основной теоремы алгебры).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.9. Для того чтобы матрица А линейного оператора А в данном базисе {е_k} была диагональной (напомним, что матрица называется диагональной, если все ее элементы, расположенные не на главной диагонали, равны нулю), необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы е_kбыли собственными векторами этого оператора.
Теорема 5.10. Пусть собственные значения λ ₁,λ₂,...,λ_роператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы е₁, е₂,..., е_pлинейно независимы.
Следствие. Если характеристический многочлен оператора А имеет n различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид.
Действительно, в рассматриваемом случае, согласно только что доказанной теореме, собственные векторы линейно независимы и поэтому могут быть выбраны в качестве базисных. Но тогда по теореме 5.9 в этом базисе матрица оператора А будет диагональной.

Билинейные и квадратичные функции и формы. Канонический вид квадратичной формы.

Билинейные формы

Понятие билинейной формы.

Определение 1. Числовая функция А(х, у), аргументами которой являются всевозможные векторы х и у вещественного линейного пространства L, называется билинейной формой, если для любых векторов х, у и z из L и любого вещественного числа λ выполняются следующие соотношения:

Простейшим примером билинейной формы может служить произведение двух линейных форм f(х) и g(y), определенных на векторах х и у линейного пространства L.
Определение 2. Билинейная форма А(х, у) называется симметричной (кососимметричной), если для любых векторов х и у линейного пространства L выполняются соотношения:

Справедливо следующее утверждение: любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной билинейных форм (см. п. 1 §9 гл.5).
2. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве. Пусть в n-мерном линейном пространстве L задана билинейная форма В(х, у). Выясним вопрос о представлении формы В(х, у) в случае, когда в L задан определенный базис е = (е₁, е₂,..., е_n).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.1. Билинейная форма В(х, у) при заданном в n-мерном линейном пространстве L базисе е =(е₁, е₂,..., е_n) может быть однозначно представлена в следующем виде:

a ξ_i и η_i — координаты в базисе е векторов х и у соответственно.

элементы b_ij которой определены с помощью соотношений (7.4), называется матрицей билинейной формы В(х, у) в данном базисе е.
Замечание 1. Обратимся к вопросу о построении всех билинейных форм в данном конечномерном вещественном пространстве L. Ответ на этот вопрос следующий: любая квадратная матрица (b_ij) является в данном базисе е = (е₁, е₂,..., е_n) матрицей некоторой билинейной формы.
Замечание 2. Если В(х, у) — симметричная (кососимметричная) билинейная форма, то матрица (7.5) этой формы в базисе е является симметричной (кососимметричной). Справедливо и обратное — если матрица (7.5) билинейной формы В(х, у) симметрична (кососимметрична), то и билинейная форма является симметричной (кососимметричной).
3. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Ранг билинейной формы. Рассмотрим в линейном пространстве L два базиса: е = (е₁, е₂,..., е_n) и f = (f₁, f₂,..., f_n). Пусть А(е) = (а_ij) и A(f) = (b_ij) — матрицы данной билинейной формы в указанных базисах.
Выясним вопрос о связи этих матриц, т. е. выясним вопрос о преобразовании матрицы a_ij билинейной формы при переходе от базиса е к новому базису f.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 7.2. Матрицы А(е) и A(f) билинейной формы А(х, у) в базисах е = (е₁, е₂,..., е_n) и f = (f₁, f₂,..., f_n) связаны соотношением

где С = (c_pq) — матрица перехода от базиса е к базису f, а С' — транспонированная матрица С.
Следствие. Ранг матрицы A(f) равен рангу матрицы А(е).
Определение 1. Рангом билинейной формы, заданной в конечномерном линейном пространстве L, называется ранг матрицы этой формы в произвольном базисе пространства L.
Определение 2. Билинейная форма А(х, у), заданная в конечномерном линейном пространстве L, называется невырожденной (вырожденной), если ее ранг равен (меньше) размерности пространства L.

Определение квадратичной формы
Квадратичная форма переменных - функция

- коэффициенты квадратичной формы. Без ограничения общности считают тогда

Если переменные принимают действительные значения и квадратичная форма называется действительной.

Матричная запись квадратичной формы

 

Матрица

называется матрицей квадратичной формы, ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма называется невырожденной, если

Главные миноры матрицы A называются главными минорами квадратичной формы.

В пространстве квадратичную форму можно записать в виде где X - координатный столбец вектора

В пространстве квадаратичную форму можно представить в виде где f - линейный самосопряженный оператор, матрица которого в некотором ортонормированном базисе равна A.

Канонический вид квадратичной формы
Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.