Математические раздумья об истории

Моделирование методом Монте-Карло как метафора к пониманию последовательности случайных исторических событий. Случайности и искусственная история. Возраст - это красота, но новое и молодое, почти всегда, токсично. Отправьте вашего профессора истории в начальный класс по теории статистического анализа

 

Математика европлейбоя

Словосочетание «классический математик» вызывает из памяти образ анемичного человека с косматой бородой, грязными и давно не стриженными ногтями, который тихо трудится за убогим и захламленным столом. С узкими плечами и выпирающим животиком, он сидит в неряшливой комнате, полностью поглощен своей работой, не обращает никакого внимания на внешний мир. Он вырос при коммунизме (sic!) и говорит по-английски со строгим и хриплым восточноевропейским акцентом (sic!). Когда он ест, крошки еды застревают в его бороде. Со временем его все больше поглощает предмет его чистых теорий, уходящих во всё большую абстракцию. Американская публика познакомилась недавно с одним из таких характеров — Унабомбером, бородатым математиком-отшельником, который жил в хижине и принялся убивать людей, продвигавших современные технологии. Ни один журналист не способен даже приблизительно описать предмет его диссертации — комплексные границы — поскольку это не имеет никакого понятного эквивалента. Комплексное число является полностью абстрактным числом, квадратный корень из минус единицы — объект, который не имеет аналогов вне мира математики.

Название Монте-Карло вызывает в памяти образ загорелого учтивого человека, этакого европлэйбоя, входящего в казино с дуновением средиземноморского бриза. Он –талантливый лыжник и теннисист, но не осрамится и в шахматах и бридже. Он ездит в спортивном кабриолете, одевается в отутюженный итальянский костюм и гладко говорит о реальном (то есть как раз о том, что журналисты так любят описывать). В казино он держит в уме все карты, определяет шансы и высчитывает оптимальные размеры ставки. Он мог бы быть потерянным близнецом Джеймса Бонда, только более умным.

Когда я думаю о "математике Монте-Карло", я думаю о счастливой комбинации реализма человека Монте-Карло без мелочности с интуицией математика без чрезмерной тяги к абстракциям. На самом деле, эта отрасль математики имеет огромное практическое значение и не столь суха, как обычно думают. Я увлекся ею, когда стал трейдером, и она формировала мое мышление в большинстве вопросов случайности. Большинство примеров, используемых в книге, было создано с помощью моего генератора Монте-Карло, который я описываю в этой главе. Но в гораздо большей степени это скорее способ мышления, чем вычислительный метод. Математика - это, в принципе, инструмент больше мышления, чем вычисления

 

Инструменты

Понятие альтернативных историй, обсуждаемых в предыдущей главе, может быть значительно расширено и обработано, в том числе, с помощью инструментов, используемым в моей профессии, чтобы играть с вероятностью. Позже я их обозначу. Методы Монте-Карло, коротко говоря, состоят в создании искусственной истории, используя следующие концепции

Во-первых, это траектория выборки. Невидимые истории имеют научное название — альтернативные выборочные траектории — которое заимствовано из области вероятностной математики, называемой стохастическим процессом (?). Понятие траектории, в противоположность результату, указывает на то, что это не простой анализ сценария в стиле МВА, но экспертиза последовательности сценариев в течение времени. Мы интересуемся не просто тем местом, где птичка может оказаться завтра ночью, но интересуемся всеми различными местами, которые она может посетить в течение интервала времени. Мы интересуемся не просто тем, сколько будет стоить капитал инвестора, скажем, через год, а скорее количеством сердечных приступов, которые он может испытывать в течение этого периода. Слово «выборочная» подчеркивает, что мы видим только одну реализацию среди множества возможных. Очевидно, что выборочная траектория может быть либо детерминированной, либо случайной.

Случайная выборочная траектория, также называемая случайным пробегом, является математическим названием для последовательности виртуальных исторических событий, начинающихся с данного момента и заканчивающихся в другой, и появление которых соответствует некоторому уровню неуверенности. Однако, слово случайный не должно путать с равновероятным (то есть имеющим одинаковую вероятность), поскольку некоторые результаты дадут более высокую вероятность, чем другие. Примером случайной выборочной траектории может быть температура тела вашего кузена, пока он болен тифом, измеряемая ежечасно. Также это может быть моделирование цены вашей любимой акции, измеренной ежедневно, на закрытии рынка, в течение, скажем, одного года. Начиная со 100$, в одном сценарии цена может заканчиваться 20$, достигнув, однако, максимума в 220$, а в другом она может заканчиваться в точке 145$, повидав минимум в 10$. Другой пример - эволюция вашего состояния в течение вечера в казино. Вы начинаете с 1000$ в кармане и делаете измерения каждые 15 минут. В одной выборочной траектории вы, в полночь, имеете 2200$, а в другой вы едва наскребаете 20$ на такси.

 

Стохастические процессы относятся к динамике событий, разворачивающихся во времени. Стохастический - причудливое греческое название для случайного. Эта отрасль теории вероятности интересуется изучением развития последовательных случайных событий - можно даже называть это математикой истории. Ключ к процессу в том, что он заключает в себе время.

Что такое генератор Монте-Карло? Вообразите, что вы можете смоделировать совершенное колесо рулетки на вашем чердаке без того, чтобы обращаться за помощью к плотнику. Компьютерные программы могут моделировать что угодно. Они даже лучше (и дешевле), чем колесо рулетки, сделанное плотником, которое может "любить" какой-либо номер больше, чем другие, вследствие возможной неровности в своей конструкции или пола вашего чердака. Такая неровность называется уклоном.

Моделирование методом Монте-Карло больше всего похоже на игрушку. Можно производить тысячи, даже миллионы случайных выборочных траекторий, и смотреть на их превалирующие характеристики и особенности. Компьютер незаменим в таких занятиях. Отсылка к Монте-Карло подчеркивает метафору моделирования случайных событий как в виртуальном казино. Один набор условий, которые, как считается, преобладают в действительности, запускает коллекцию моделей возможных событий. Даже не имея математической подготовки, мы можем применить моделирование методом Монте-Карло для 18-летнего христианского ливанца, последовательно играющего в Русскую рулетку на заданную сумму, и увидеть, сколько из этих попыток кончаются обогащением, или сколько времени требуется, в среднем, для того чтобы увидеть его некролог. Мы можем заменить барабан револьвера, чтобы он содержал 500 пулеприемников вместо шести, что, очевидно, уменьшило бы вероятность смерти, и посмотреть результат.

Методы моделирования Монте-Карло стали впервые применяться в военной физике в лаборатории Лос-Аламоса во время подготовки бомбы. Они стали популярными в финансовой математике в 1980-ых, особенно в теориях случайных отклонений цены актива. Ясно, что для русской рулетки не требуется такого мощного аппарата, но многие проблемы нуждаются с силе генератора Монте-Карло.

 

Математика Монте-Карло

Это факт, что "истинные" математики не любят методы Монте-Карло. Они полагают, что такие методы крадут у нас изящество и элегантность математики. Они называют это "животной силой", поскольку мы можем подменить знания симулятором. Но умственные способности и интуиция некоторых людей ориентированы таким способом, что они более восприимчивы к получению знаний именно в таком виде (я считаю себя одним из них). Компьютер возможно, не естественен для нашего человеческого мозга, но не более неестествен, чем математика.

Я - не математик «от бога», то есть я говорю на языке математики не как на родном языке, но со следами иностранного акцента. Сами по себе математические изыски меня не интересуют, только их применение, в то время, как математик интересовался бы улучшением математики (через теоремы и доказательства). Я оказался неспособным к концентрации на расшифровке отдельного уравнения, если я не мотивирован реальной проблемой (и толикой жадности). Поэтому опционы подтолкнули меня, к изучению вероятностной математики. Многие маниакальные игроки имели бы посредственные знания в теории вероятности, если бы не приобрели замечательные навыки подсчета карт, благодаря своему азарту и жадности.

Другую аналогию можно провести с грамматикой, которая часто более понятна и менее скучна, чем математика. Есть те, кто заинтересован грамматикой для пользы грамматики, и те, кто заинтересован в отсутствии ошибок при письме. Это как с "квантами" - подобно физикам, мы больше заинтересованы в использовании математического инструмента, чем в самом инструменте непосредственно. Математиками рождаются, но никогда не становятся. Я не забочусь об "элегантности" и "качестве" математики, которую я использую, я забочусь о том, чтобы получить правильный вывод. Я обращаюсь к помощи методов Монте-Карло всякий раз, когда это возможно. Они могут сделать работу и они наглядны, что позволяет мне использовать их в качестве примеров.

 

Действительно, вероятность - это интроспективная область вопросов, поскольку она затрагивает более, чем одну науку, даже если эта наука — мать всех наук. Невозможно оценить качество наших знаний без оценки случайности в методах его получения и аргументов в пользу случайных совпадений при его строительстве. В науке вероятность и информация рассматриваются в одинаковой манере. Буквально каждый большой мыслитель интересовался этим, и большинство из них было буквально одержимо вопросами вероятности. Два самых грандиозных ума, Эйнштейн и Кейнс, оба начали свои интеллектуальные путешествия с вероятности.

Эйнштейн написал свою главную работу в 1905, в которой он, почти первым, исследовал в вероятностных терминах последовательность случайных событий, а именно, эволюцию задержанных частиц в стационарной жидкости. Его работа по теории броуновского движения может использоваться в качестве основы для теорий случайных отклонений, используемых в финансовом моделировании. Что касается Кейнса, то для образованного человека, он — не тот политический экономист, на которого любят кивать одетые в твид левые, а автор авторитетного, интроспективного и мощного Трактата о вероятности. Прежде, чем окунуться в темную область политической экономии, Кейнс был вероятностником. У него были и другие интересные особенности, например, он "взорвал" торговлю на своем счету после достижения чрезмерного богатства — понимание людьми вероятности не всегда переходит в их поведение.

Читатель может предположить, что следующим шагом после такого вероятностного самоанализа, должно стать вовлечение философии, в особенности раздела философии, занимающегося знанием, как таковым, и который называется эпистемологией, или методологией, или философией науки, которую популяризируют такие люди, как Карл Поппер и Джордж Сорос. Мы затронем эту тему дальше.