Примеры. Задача 1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов

Задача 1. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение: Дискретная случайная величина X (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: (ни один из элементов устройства не отказал), (отказал один элемент), (отказали два элемента) и (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что, по условию, , (следовательно, ), получим:

;

;

;

.

Контроль: .

Напишем искомый биноминальный закон распределения X:

Задача 2. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.

Решение: Случайная величина X - число стандартных деталей среди отобранных деталей - имеет следующие возможные значения: , и . Найдем вероятности возможных значений X по формуле , где N - число деталей в партии, - число стандартных деталей в партии, - число отобранных деталей, – число стандартных деталей среди отобранных.

Находим:

;

;

.

Составим искомый закон распределения:

Контроль: .

Задача 3. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Решение: По условию, = 100000, = 0,0001, = 5. События, состоящие в том, что книги сброшюрованы неправильно, независимы, число велико, а вероятность мала, поэтому воспользуемся законом Пуассона . Найдем : .

Искомая вероятность равна: .

Задача 4. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

Решение: Число = 500 велико, вероятность = 0,002 мала и рассматриваемые события (повреждение изделий) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона .

а) Найдем : . Найдем вероятность того, что будет повреждено ровно 3 () изделия:

.

б) Найдем вероятность того, что будет повреждено менее трех изделий:

.

в) Найдём вероятность Р того, что будет повреждено более трех изделий. События «повреждено более трех изделий» и «повреждено на более трех изделий» (обозначим это событие через ) - противоположны, поэтому . Отсюда получим: . Используя результаты, полученные выше, имеем .

г) Найдем вероятность того, что будет повреждено хотя бы одно изделие. События «повреждено хотя бы одно изделие» и «ни одно из изделий не повреждено» (обозначим это событие через ) - противоположны, следовательно . Отсюда искомая вероятность того, что будет повреждено хотя бы одно изделие, равна .