Примеры

Решение задач на равновесие твердого тела (системы сочлененных тел) рекомендуется выполнять в следующей последовательности:

-выделить твердое тело, равновесие которого требуется рассмотреть,

часто это тело принимается за балку, стержень, плиту и т.п.;

-у несвободного тела отбросить связи и заменить реакциями связей, направление которых выбирается исходя из вида связи (см. гл.1, §2);

-составить расчетную схему, указав на ней все приложенные к телу

активные силы и моменты и реакции связей, распределенные нагрузки заменяются при этом сосредоточенными силами с указанием их точек приложения;

-определить число неизвестных реакций и число возможных уравнений равновесия и установить, является ли рассматриваемая задача статически определимой;

-выбрать систему координат, оси которой при этом целесообразно

проводить перпендикулярно к неизвестным силам, а центры приведения моментов выбирать на пересечении линий действия неизвестных сил;

-составить уравнения равновесия в выбранной системе координат;

-решить систему уравнений и определить все неизвестные величины;

-провести качественный анализ полученного решения и его соответствия механическим условиям задачи.

При рассмотрении равновесия системы тел, сочлененных внутренними связями типа шарниров, стержней и т.п., система тел расчленяется на отдельные тела (две подсистемы). Система равновесия может затем составляться для каждого тела в отдельности либо для системы в целом и для одного из тел в отдельности. При этом необходимо учитывать, что силы в сочленениях для системы в целом являются внутренними и потому в уравнения системы не входят, для отдельных тел в точках сочленения реакции равны по величине и противоположны по направлению.

Предлагаемый порядок решения является достаточно общим и приложим к любым задачам на равновесие тел. Поясним его на ряде примеров.

Пример C1.1 решения задачи C контрольной работы на равновесие плоской произвольной системы сил (с нагрузкой, распределенной по линейному закону треугольника), приложенной к одному телу, рассмотрен в § 11, рис. I.29.

Пример C1.2 решения задачи C контрольной работы на равновесие плоской произвольной системы сил. Схема балки показана на рис.I.35

Дано: На горизонтальную балку действуют: сосредоточенная сила , моментом М пары сил и равномерно распределенная нагрузка интенсивности q.

Р = 4 кН; М = 5 кН· м; q = 2 кН/ м; а = 2м; b=Зм; d=2 м; α =60°; ß =30˚.

Определить: реакции шарниров R_А и R_В, пренебрегая весом балки АВ.

Р е ш е н и е. Освободим балку АВ от связей, заменив их действие реакциями связей, и рассматриваем ее равновесие под действием заданной силы Р; момента пары сил М; равномерно распределенной нагрузки интенсивности q, которую заменяем равнодействующей, равной Q=g·b=2·3=6 кН, и приложенной в центре тяжести эпюры этой нагрузки; реакций в неподвижном шарнире А и подвижном шарнире В - . Расчетная схема балки АВ представлена на рис.I. 35.

y

М

q

α

R_Ay

В

А

x

ß

R_Ax

 

Рис.I.35

 

Поставленную задачу можно записать коротко следующим образом:

 

AB , .

Число неизвестных (, ; ) соответствует числу уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил, приложенных к балке АВ:

1. P×cos a- × sin b + = 0; ; 2. - P×sin a- Q + + × cos b = 0; ;

3. -P× a× sin a - Q × - M + × × cos b = 0.

 

Из (3):

Из (1): = - P×cos a + × sin b = - 4 × 0,5 + 5,4 × 0,5 = 0,7 kH.

Bp (2): = P×sin a + Q - × cos b = 4× + 6 - 5?4 = 4,8 kH.

Для проверки полученных значений опорных реакций можно составить

дополнительное уравнение равновесия:

- ×7 + P×5×sin a + Q ×3,5 - M = 0;

0=0, значит реакции найдены верно.

 

Ответ: = 0.7 кН; = 4.8 кН; =5.4 кН.

 

Пример C2.1 решения задачи C2 контрольной работы на равновесие плоской произвольной системы сил, приложенной к системе связанных (сочлененных) между собой тел; в данном случае соединенных идеальными шарнирами, рассмотрен в § 9, рис. I.26,а ирис. I.26,б.

Пример C2.2 решения задачи I.C2 контрольной работы на равновесие плоской произвольной системы сил, приложенной к системе связанных (сочлененных) между собой тел; в данном случае соединенных идеальным шарниром С. Схема составной конструкции показана на рис.I.36а.

Дано: на составную конструкцию (система двух тел: балка АС и балка СВ) действуют: сосредоточенная сила Р, момент пары сил М и равномерно распределенная нагрузка интенсивности q.

P=2 кН; М = 7 кН·м; q=5кН/м; a=3м; b=2м; d=4м; α=30˚.

Определить: реакции в жесткой заделке А, реакцию в подвижном шарнире B и давление в промежуточном шарнире С.

Р е ш е н и е. При рассмотрении равновесия составной конструкции в целом (АСВ)

ACB , .

Число неизвестных (, ; ) составляющих реакций – четыре, то есть больше числа уравнений равновесия, которые можно составить для этой системы сил -три. Поэтому для решения данной задачи составную конструкцию необходимо разделить на две части (то есть на две подсистемы АС и СВ) по промежуточному шарниру С. В месте разделения конструкции необходимо показать соответствующие реакции по взаимно противоположным направлениям для каждой из частей. Причем, соответствующие составляющие реакций равны по величине.

Расчетная схема из двух составных частей показана на рис.I. 36 б. Каждая из частей находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил. Для каждой части конструкции можно составить по три уравнения равновесия, приняв систему координат XY.

 

а)М q

АС В α

а в d

R_ay

б)М

A С

М_А R_Ax

B

Q

3м 2м 4м

 

Рис.I.36

 

Рассмотрим равновесие правой части (CB):

CB , . Число неизвестных (, ) соответствует числу уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил, приложенных к подсистеме CB:

 

1. P×cos a×+ = 0; ;

2. P×sin a- Q - + = 0; ;

3. P×sin a - Qb/2 + = 0.

 

 

Рассмотрим равновесие левой части (AC):

AC , - , .

Число неизвестных , , соответствует числу уравнений равновесия для произвольной плоской системы сил, приложенных к подсистемам CB и AC:

 

4. - = 0; ;

5. + = 0; ;

6. - + M + × а = 0.

 

Из (1): = - P×cos a×= 2 × 0,866 = -1,7 kH;

Из (3): = (Q× b/2 - P×sin a ) / = (10 × 1- 2 × 0.5 × 6)/ 2 = 2 kH.

Из (2): = P×sin a - Q + = 2× 0.5 – 10 +2 = – 7 kH.

Из (4): R_AX = R_CX = -1.7 кН.

Из (5): R_AY = - R_CY = 7 кН.

Из (6): = + M + × а = 7 + (-7) × 3 = -14 kHм.

Для проверки полученных результатов можно составить уравнение моментов относительно какой-либо точки или уравнение проекций на какую-нибудь ось как для всей конструкции, так и для отдельных частей. В любом из этих уравнений при равновесии и подстановке полученных значений реакций должно получиться равенство нулю.

 

Пример C3 решения задачи C3 первой контрольной работы на равновесие пространственной произвольной системы сил, приложенной к одному телу.

Дано: Однородная прямоугольная плита ABCD (рис. I.37 веса G закреплена в точке A сферическим, а в точке B - цилиндрическим шарниром и поддерживается в горизонтальном положении тросом CK,

Рис. I.37 расположенным в вертикальной плоскости,

проходящей через CD, и образующим с вертикалью угол a. Размеры плиты указаны на схеме.

Определить реакции шарниров и натяжение троса.

Р е ш е н и е. Освобождаем плиту от связей и рассматриваем ее равновесие под действием заданнойсилы веса G, реакций в шарнирах , и натяжения троса (рис. I.37). Поставленную задачу можно записать коротко следующим образом:

ABCD , , .

Число неизвестных (, , ; , ; ) соответствует числу уравнений равновесия для пространственной системы сил, приложенных к плите:

1. - sina = 0; = ;

2. - G + + + cosa = 0; = ;

3. + = 0; = - = - ;

4. G× - cosa × b = 0; = ;

5. - ×a - sina × b = 0; = ;

6. - G× + ×a + cosa × a = 0; = 0.

Решая полученную систему уравнений, определяем искомые реакции. По заданным компонентам определяются реакции , . Направления реакций, имеющих по результатам расчета знак “ минус”, противоположны тем, которые указаны на схеме сил, но изменять ничего не надо.

Следует заметить, что нами рассматривались простые модели, которые допускают аналитическое решение и могут быть рассчитаны методами ручного счета. Такое упрощенное с одновременным заданием “удобных” размеров, “хороших” углов и т.п. может породить иллюзию, что в инженерной практике встречаются только такие легко решаемые задачи.

В настоящее время инженеры всех специальностей широко используют в практической работе средства вычислительной механики.

Процесс математического моделирования любой механической задачи можно представить состоящим из следующих этапов:

-формулировка задачи и разработка ее физико-математической модели;

-выбор алгоритма решения задачи и его реализация в виде программы для ЭВМ;

-решение задачи и анализ результатов.

На первом этапе в результате анализа проблемы делаются допущения о характере протекающих процессов, устанавливаются основные закономерности и выделяются главные факторы, определяющие данное явление. Затем формулируется математическая модель процесса, которая представляет собой обычно запись основных закономерностей явления в математической форме. В механике для многих задач математическая модель записывается в виде системы уравнений (алгебраических, дифференциальных и т.д.) с набором некоторых условий (начальных, граничных и т.д.). На этом же этапе решается вопрос о существовании решения и его единственности, а также устанавливается необходимый перечень исходных данных для последующего решения.

Правильно выбранная математическая модель – залог успешного решения поставленной технической задачи.

, На втором этапе разрабатываются вычислительный алгоритм, реализующая его программа и проводится отладка программы.

Этап решения задачи и анализа результатов предполагает проведение расчетов на ЭВМ, проведения проверки правильности полученных результатов путем решения тестовых задач, варьирования параметров, сравнением с экспериментальными данными и результатами, полученными другими методами.

При проведении конструкторско-технологических разработок новой техники и оценки поведения проектируемого изделия в разнообразных условиях эксплуатации численное моделирование является часто единственным способом решения реальной инженерной задачи. Поэтому инженеру необходимо уметь применять методы вычислительной механики к решению задач.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Курс теоретической механики. Под ред. К.С. Колесникова. М.: МГТУ, 2000.735с.

2. Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Меркин Д. Р. Курс теоретической механики. В 2 томах. Т. 1,2. М.: Наука, 1985 и предыдущие издания.

3. Добронравов В. В., Никитин Н. Н. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа, 1983. 575с.

4. Колесников К.С. и др. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1989.446 с.

5. Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1986. 448 с., и предыдущие издания.

6. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. М., 1986 и предыдущие издания.

7. Яблонский А. А. Курс теоретической механики. Ч.1.,2. М., 1984 и предыдущие издания.