Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Рассмотрим круглый цилиндрический каток радиуса r и веса P, находящийся на шероховатой поверхности
(рис. I.33,а). Приложим к оси катка горизонтальную силу 
.
Рис. I.33
Тогда на каток действуют, кроме заданных активных сил 
и , нормальная реакция 
в точке касания катка с плоскостью и сила трения 
, препятствующая скольжению катка. Как показывает опыт, если сила достаточно мала, то каток остается в покое.
Но при такой схеме сил, действующих на цилиндр, 
= - 
× r отличен от нуля, и при любой сколько угодно малой силе должно было бы начаться качение, что реально не наблюдается.
Для объяснения полученного парадокса приходится оказаться от введенной ранее гипотезы абсолютно твердого тела и принять во внимание, что вблизи точки контакта А поверхности цилиндра и плоскости деформируются, и их касание происходит по некоторой площадке конечной ширины (рис. I.33,б), сдвинутой относительно вертикального диаметра катка в направлении качения. Пока каток находится в равновесии, силы , и 
(равнодействующая распределенных по пятну контакта сил давления) уравновешены, т.е. линия действия силы проходит через центр катка, а, значит, ее точка приложения В должна быть смещена от вертикали, проходящей через центр катка, на некоторое расстояние d. Коэффициент d называется плечом трения качения, ибо он имеет размерность длины. Разложим силу на составляющие: нормальную и касательную – силу трения. Составим уравнения равновесия катка: F-T = 0; N – P = 0; N × d - T × r = 0.
В последнем уравнении плечо силы трения T ввиду малости деформации взято равным r. Полученная схема действующих сил статически не противоречива. Первые два уравнения определяют трение T = F и нормальную реакцию N = P, а из третьего уравнения можно найти расстояние d:
d = (F/P) × r. Как видно, с увеличением силы растет расстояние d. Но величина d определяет размеры деформированной области, которая не может расти неограниченно, а отсюда следует, что при некотором значении силы F смещение d достигает предельной величины 
и равновесие должно нарушиться, каток придет в движение.
Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется условие
d £ , которое можно записать и так: момент силы трения качения
= 
£ 
, или £ ( / 
) 
.
Заметим, что для силы, приложенной к катку в точке D (рис. I.33,в) условие равновесия имеет вид £ ( / 
) .
Коэффициент k = называется коэффициентом трения качения;
В отличие от коэффициента 
коэффициентом трения качения k является размерной величиной и имеет размерность длины.
Первые исследования трения качения были проведены Кулоном в опытах с качением тяжелого цилиндра по плоскости и установлены следующие приближенные законы для максимального момента трения, препятствующего качению:
- максимальный момент в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка;
- предельное значение момента ()max пропорционально нормальному давлению, т.е. нормальной реакции N: ()max = k × N.
Коэффициент трения качения в первом приближении можно полагать не зависящим от скорости скольжения и угловой скорости качения катка. Но его значение зависит от материала контактирующих тел, состояния их поверхностей и определяется опытным путем. В справочниках приводятся значения k для различных пар материалов. О порядке величины k [см], можно судить по его значениям для некоторых материалов:
- дерево по дереву k=0,05-0,08;
- сталь по стали (колесо по рельсу) k=0,005;
- сталь закаленная по стали (шариковый подшипник) k=0,001.
Обычно k / << для большинства материалов. Отсюда следует, что трение качения весьма мало по сравнению с трением скольжения (примерно на два порядка). Уже давно было известно, что для перекатывания цилиндрического тела требуется гораздо меньшая сила, чем при его перетаскивании. Поэтому в технике, когда это возможно и целесообразно, стремятся заменить скольжение качением (колесо, катки, шарикоподшипники и т.п.).
Пример. Груз весом Р1 расположен посередине доски, опирающейся на два одинаковых цилиндрических катка, которые могут перекатываться по неподвижной поверхности (рис.I. 34,а). Вес каждого катка Р2, радиус катка , коэффициенты трения качения между катком и доской k1, между катком и основанием – k2. Найти максимальную силу , приложенную горизонтально к доске, при которой доска будет еще оставаться в покое.
Рис.I.34
Р е ш е н и е. Рассмотрим равновесие одного катка, отбросив мысленно верхнюю и нижнюю поверхности, заменив их действие соответствующими реакциями (рис.I. 34,б). Со стороны нижней поверхности на каток действует нормальная реакция 
, смещенная по отношению к вертикальному диаметру на расстояние k2 вправо, т.е. в сторону возможного качения катка, и сила трения 
; со стороны доски – нормальная реакция 
, смещенная на k1 влево от вертикального диаметра, и сила трения 
, равная половине силы .
1.Уравнения равновесия катка в проекции на вертикаль:
- Р2 - = 0, откуда = Р2 + .
2. Уравнение равновесия катка вместе с грузом:
- Р2 - Р1/2 = 0, откуда = Р2 + Р1/2 и, следовательно, = Р1/2.
3. Сумма моментов всех сил относительно точки А:
× k1 + × k2 - (1/2) × 2 = 0, откуда искомая максимальная сила
.
Частные случаи:
1. k1 = k2 = k = 
;
2. 
= 
= 
и Р2 << Р1 = 
.
ГЛАВА IV. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО СТАТИКЕ
Поскольку основные положения и методы теоретической механики широко используются во многих областях техники, поэтому важной задачей является применение теоретических результатов к конкретным приложениям (решение контрольных работ). Приведем также краткие рекомендации по решению задач на равновесие тел и примеры выполнения контрольных работ.
