III. 6. Распределенные силы

При формулировке условий равновесия рассматривались силы, прилагаемые к телу в определенных точках и называемые сосредоточенными. В действительности часто приходится иметь дело с силами, приложенными к части объема тела, его поверхности или какой-либо линии. Такие силы называют распределенными. Примерами таких сил являются сила тяжести, давление воды на стенку плотины и т.п. Так как аксиомы и теоремы статики сформулированы для сосредоточенных сил, то необходимо указать правило перехода от распределенной системы сил к эквивалентной ей системе сосредоточенных сил.

Рис. I. 28

Распределенные силы характеризуются прежде всего интенсивностью, т.е. силой, действующей на единицу линии. Выделим элемент длины линии в окрестности рассматриваемой точки тела, и пусть сила, приложенная к этому элемент длины линии . Отношение ! определяет среднюю интенсивность силы в окрестности точки, а предел этого отношения называется интенсивностью силы, распределенной вдоль линии в данной точке тела

, где и соответственно элемент длины линии.

Графически распределенную нагрузку принято изображать так называемой эпюрой нагрузок. Рассмотрим балку, на которую нанесен слой песка одинаковой толщины (рис.I. 28,а). Такую нагрузку совместно с собственным весом балки, представляющим равномерно распределенную вдоль балки силу тяжести, можно изобразить в виде прямоугольной эпюры нагрузок АВ

(рис.I.28,б); высота этой эпюры q представляет интенсивность нагрузки.

В таких простейших случаях интенсивность силы определяется отношением полной силы давления к длине, т.е. к области ее приложения.

Существует много случаев, когда силы распределены неравномерно. Так, например, гидростатическое давление воды на стенку плотины (рис.I.29) изменяется с глубиной по линейному закону.

При равномерном распределении нагрузки q=const, результирующая нагрузка равна произведению интенсивности q на длину участка приложения , а точка ее приложения лежит посередине участка АВ.

ПримерC1. Уровень воды в шлюзе поддерживается щитовым затвором АВ (рис.I.29).Определить силу давления воды на затвор в закрытом вертикальном положении и силы реакций в опорах затвора А и В. Удельный вес воды d, высота уровня воды h, весом затвора пренебрегаем.

Р е ш е н и е. Рассмотрим участок затвора в виде вертикальной полосы шириной, равной единице в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, и

принимаем, что интенсивность реакций

Рис. I. 29 равномерна вдоль линий опор, перпендикулярных плоскости рисунка. Так как давление воды нагружает затвор симметрично относительно его вертикальной оси, то можно считать, что все силы, приложенные к выделенной полосе затвора, расположены в плоскости рисунка. Таким образом, задача сводится к определению равновесия балки АВ под действием распределенной нагрузки (давление воды) и сосредоточенных искомых реакций .

Известно, что давление воды пропорционально весу столба жидкости, и потому интенсивность нагрузки на глубине от свободной поверхности

q = d × , следовательно, нагрузка распределена по линейному закону и ее эпюра представляет собой треугольник (рис.I.29).

Равнодействующая сил давления точка ее приложения

Таким образом, если эпюра нагрузок имеет вид треугольника, то равнодействующая равна половине произведения максимальной интенсивности на длину участка приложения нагрузки и точка приложения равнодействующей отстоит на 1/3 от линии максимальной интенсивности, т.е., проходит через центр тяжести площади эпюры нагрузок.

Заменив распределенную нагрузку ее равнодействующей, запишем уравнения равновесия плоской системы сил, приложенных к балке АВ, взяв за центр моментов точку В балки.

Постановка задачи:

(1)

Q - - = 0; (2)

(3)

откуда находим ,