1. Среднее значение кинетической энергии свободной частицы при температуре T.
Частица трехмерного газа при температуре T, движущаяся поступательно вдоль оси 
, имеет составляющую кинетической энергии
, 
.
Сравниваем с (2.103)
,
находим
, 
, 
.
Из (2.107)
получаем
. (П.4.1)
Для классического равновесного газа при температуре Т на каждую поступательную степень свободы частицы приходится тепловая кинетическая энергия
.
2. Энергия линейного гармонического осцилляторапри температуре Т.
Гамильтониан
, 
,
сравниваем с (2.108)
,
получаем
, 
.
Из (2.107)
, , 
находим
,
,
.
На линейное гармоническое колебание при температуре Т приходится тепловая энергия kT, которая складывается из кинетической и потенциальной энергий.
3. Молярная теплоемкость трехмерного, двухмерного и одномерного простого тела при температуре Т.
Простое вещество состоит из атомов одного химического элемента. Кристаллическая трехмерная решетка удерживает атом в узле потенциальным полем. Узел является трехмерным гармоническим осциллятором с гамильтонианом
.
Сравнение с (2.103)
дает
, .
Из (2.107) получаем среднюю тепловую энергию атома
.
Число узлов в моле кристалла равно числу Авогадро 
. Внутренняя энергия моля
,
где R – универсальная газовая постоянная. Молярная теплоемкость
. (П.4.2)
Простые твердые тела обладают одинаковой, не зависящей от температуры молярной теплоемкостью – закон Дюлонга и Пти (1819 г.). Закон не применим при низкой температуре и для объектов, где существенны квантовые явления.
Пьер Дюлонг (1785–1838) Алексиз Пти (1791–1820)
Пленка атомарной толщины образует двухмерную кристаллическую решетку, тогда
, , 
.
Закон Дюлонга и Пти получает вид
.
Проволока атомарной толщины образует одномерную кристаллическую решетку, тогда
, , .
Молярная теплоемкость
.
4. Флуктуация разности потенциалов в резисторе, вызванная хаотическим тепловым движением.
Колебательный контур содержит резистор R. Внешний сигнал вызывает в контуре колебания. Напряжение с конденсатора С подается на усилитель сигналов У и далее на регистратор в виде осциллографа, как показано на рисунке. Усилитель имеет обратную связь и пропускает колебания с напряжением, превышающим некоторое пороговое значение. Оно является минимальным сигналом, который регистрирует устройство. Для устранения зашумленности полезного сигнала пороговое значение должно превышать величину флуктуации напряжения, вызванную тепловым движением зарядов в резисторе. Найдем эту величину.
Колебательный контур LCR с усилителем У
Хаотическое движение электронов в резисторе R создает кратковременный ток, конденсатор заряжается, в контуре возникают колебания. Из определения электроемкости 
получаем связь между среднеквадратичными значениями заряда и напряжения
.
Конденсатор рассматриваем как одномерную систему с энергией
, 
,
где заряд Q аналогичен импульсу. Сравниваем с (2.103)
,
находим
, .
Из (2.107)
получаем среднюю тепловую энергию колебательного контура
.
Находим
и флуктуацию напряжения
.
Чем выше температура и меньше электроемкость колебательного контура, тем больше флуктуация напряжения на конденсаторе.
Параметры колебательного контура 
выражаем через ширину частотной полосы пропускания сигнала 
и реактивное сопротивление X контура
,
.
Мощность, передаваемая от контура к усилителю, достигает максимумапри согласованной нагрузке, когда входное сопротивление потребителя, то есть усилителя 
, равняется сопротивлению источника X. Получаем
,
тогда
и флуктуация напряжения
.
Для приемника с полосой пропускания 
, с входным сопротивлением 
и температурой 
получаем флуктуацию напряжения на входе усилителя 
, что ограничивает его предельную чувствительность.
Джонсон в 1927 г. подключил резистор к входу усилителя и наблюдал на выходе флуктуацию разности потенциалов. Он обнаружил, что в диапазоне акустических частот дисперсия разности потенциалов теплового шума пропорциональна сопротивлению и температуре резистора
.
Джон Бертранд Джонсон (1887–1970)
5. Флуктуационная ЭДС активного сопротивления.
Электроны в проводнике длиной l образуют идеальный газ. Хаотические тепловые движения газа разлагаем в ряд Фурье. Коллективные перемещения электронов вдоль проводника рассматриваем как стоячие волны смещений газа от равномерного распределения со всеми возможными длинами волн. На концах проводника электроны не выходят за его пределы и возникают узлы смещений. В результате продольные смещения газа имеют дискретный спектр и являются суммой стоячих волн 
, показанных на рисунке.
Стоячие волны смещений газа
в проводнике
Смещения электронов создают разность потенциалов на концах проводника. Найдем флуктуацию напряжения, рассматривая волны как линейные гармонические осцилляторы и учитывая, что при температуре T средняя тепловая энергия осциллятора равна 
.
Ищем число волн в интервале частот 
. Узлы на концах проводника означают, что на длине проводника l укладывается целое число полуволн 
, тогда
, 
,
где λ – длина волны. Из рис. видно, что n есть число независимых волн в проводнике. C учетом двух проекций спина электрона получаем число волн в интервале частот (0,n)
,
где 
; V – скорость волны. Дифференцируем равенство и находим число волн в интервале частот d n
.
Каждая волна является линейным гармоническим осциллятором с тепловой энергией , тогда энергия 
волн
.
Время распространения волны по проводнику 
, тепловая мощность перемещения электронов
связана с ЭДС законом Джоуля–Ленца
.
Для среднего квадрата фурье-компоненты флуктуационной ЭДС на частоте n получаем формулу Найквиста
. (П.4.4)
Результат установил в 1928 г. Найквист – один из основателей теории информации.
Гарри Найквист (1889–1976)
При 
ЭДС слабо зависит от частоты и в спектре флуктуаций присутствуют все частоты – флуктуации имеют «белый спектр». Из (П.4.4) находим флуктуацию напряжения на концах проводника
, (П.4.5)
где – полоса частот, регистрируемая измерителем сигналов. Полученное выражение близко к (П.4.3) из предыдущего примера с колебательным контуром. Формулы (П.4.3) и (П.4.5) применимы, если не существенны квантовые эффекты, то есть при относительно высокой температуре
,
где 
– максимальная частота в полосе Dn. При получаем 
. Из (П.4.5) следует, что устройство, имеющее в своей электрической цепи диссипативный элемент – активное сопротивление, является источником теплового электрического шума. При этом чисто реактивные системы не шумят.
Полученные результаты являются следствием флуктуационно-диссипационной теоремы. В частности она утверждает, что если есть диссипация энергии, то существует и флуктуации энергии.
6. Среднее значение потенциальной энергии при температуре Т.
Потенциальная энергия частицы описывается слагаемым гамильтониана
, (П.4.11)
где 
; 
. Найти среднее значение потенциальной энергии частицы при температуре T.
Вычисляем потенциальную составляющую статистического интеграла (2.105)
,
где использовано
.
Получаем
.
Из (2.106)
находим
. (П.4.12)
При 
потенциальная энергия получает сдвиг аргумента
, 
. (П.4.13)
Из (П.4.12) находим
. (П.4.14)
В результате сдвиг аргумента потенциальной энергии частицы 
не изменяет ее среднего значения при температуре T.
7. Неустранимая погрешность пружинных весов.
Требуется найти гравитационную массу тела m и неустранимую погрешность измерения массы при помощи весов, работающих на основе упругой силы с коэффициентом жесткости κ при температуре Т.
Тело подвешивается на пружину в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g, как показано на рис. 2.15. Пружина растягивается на величину 
. Если тело неподвижно, то проекции силы тяжести 
и упругой силы 
, уравновешены
.
Рис.2.15. Весы на основе упругой силы
Измеряя растяжение пружины , получаем гравитационную массу тела
,
где чувствительность весов
.
Чем меньше коэффициент жесткости, тем выше чувствительность весов и тем сильнее реагирует система на возмущение.
Хаотические тепловые движения молекул пружины, тела и окружающего воздуха приводят к микроколебаниям указателя весов около среднего значения . Невозможно снять показания прибора с точностью, меньшей средней амплитуды хаотических колебаний указателя, равной флуктуации
,
где 
.
Найдем 
, используя теорему о распределении энергии по степеням свободы. Система одномерная, на тело действует результирующая сила с проекцией
,
тогда потенциальная энергия
, 
.
Сравнение с (П.4.11)
дает
, 
, 
.
Из (П.4.12)
получаем
.
В последнем равенстве использовано 
. Сравнивая второе и последнее выражения после умножения на 2
.
С учетом находим
, 
.
В результате минимальная абсолютная погрешность измерения массы
.
Погрешность измерения уменьшается при понижении температуры и увеличении чувствительности весов. Используя частоту свободных колебаний системы 
, находим относительную погрешность измерения
.
При 
, , 
, получаем 
.
8. Неустранимая погрешность пружинных весов (упрощенное описание).
Макрохарактеристика равновесной системы постоянна только в среднем. Ее флуктуация вызвана хаотическими тепловыми движениями микрочастиц.
Измерительное устройство является системой, характеристики которой испытывают тепловые колебания. Невозможно измерить физическую величину с точностью, меньшей средней амплитуды хаотических колебаний указателя прибора. Оценим неустранимую погрешность весов, работающих на основе упругой силы, используя теорему о распределении энергии по степеням свободы.
Тело искомой массы подвешено на пружине с коэффициентом жесткости κ в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g. Если тело неподвижно и не ускоряется, то упругая сила
,
вызванная растяжением пружины на расстояние x, и сила тяжести уравновешены
.
Измеряя среднее растяжение пружины , получаем гравитационную массу тела m.
Хаотические тепловые движения молекул пружины и окружающего воздуха приводят к микроколебаниям указателя весов с амплитудой 
и создают погрешность измерения массы 
. Берем дифференциал условия равновесия сил
и выражаем через абсолютную погрешность измерения массы
,
где чувствительность весов
.
Шарик на пружине является одномерным гармоническим осциллятором. Флуктуация относительно среднего положения 
равна
,
где найдем из теоремы о распределении тепловой энергии. Потенциальную энергию упругой силы
,
сравниваем с (2.103)
,
находим
, 
.
Из (2.107)
получаем среднюю потенциальную энергию, связанную с одномерным тепловым хаотическим движением весов:
.
Находим
,
получаем флуктуацию указателя весов
и неустранимую погрешностью измерения массы
.
Для уменьшения погрешности необходимо уменьшать температуру и увеличивать чувствительность весов. Это требует уменьшениякоэффициента жесткости, который определяет частоту колебаний системы:
.
Используя 
, находим относительную погрешность измерения
.
Полученный результат применим для любых аналоговых измерительных устройств, использующих упругую силу – вольтметров, амперметров, гальванометров и других устройств.
9. Средняя потенциальная энергия частицы f -мерного газа в поле с радиальной зависимостью потенциальной энергии 
, где 
; .
Газ при температуре T находится в пространстве с числом степеней свободы 
. Потенциальная составляющая статистического интеграла (2.105)
,
где
– элемент объема f- мерного пространства;
; 
– элемент телесного угла,
использован интеграл
.
Из (2.106)
получаем
. (П.4.15)
10. Центрифуга.
В центрифуге радиусом R, показанной на рисунке, вращающийся с частотой ω газ находится в поле центробежной силы инерции. Потенциальная энергия частицы массой m в полярных координатах на расстоянии r от оси вращения
, 
.
Найдем среднюю потенциальную энергию частицы при температуре T и среднее расстояние частицы от оси вращения.
Газ в центрифуге
Потенциальная составляющая статистического интеграла (2.105) в полярных координатах
,
где использовано:
– элемент площади;
– относительная энергия частицы у края центрифуги;
.
Из (2.106)
получаем
.
В рамках классической статистической физики температура достаточно высока, тогда 
. Разлагаем в степенной ряд и удерживаем первые 4 слагаемые
.
Находим
,
. (П.4.16)
Центробежная сила инерции стремится переместить частицы к краю центрифуги. Этому противостоит тепловое движение, разбрасывающее частицы равномерно по всему объему. С увеличением температуры часть частиц оказывается ближе к оси вращения, поэтому с увеличением температуры 
уменьшается.
Вопросы коллоквиума
1. Фазовое пространство для идеального газа. Микросостояние и макросостояние. Фазовый ансамбль. Число степеней свободы. Число микросостояний. Плотность микросостояний фазового ансамбля. Теорема Лиувилля.
2. Каноническое распределение. Условие применимости. Статистический интеграл. Свободная энергия. Применение к идеальному газу. Статистический интеграл поступательного движения частицы.
3. Распределение энергии частицы по степеням свободы для гамильтониана со степенными зависимостями. Неустранимая погрешность измерительного прибора с упругой силой.
4. Распределение Максвелла по модулю скорости и по энергии для концентрации частиц газа при температуре Т. Наиболее вероятные и средние значения.
5. Распределение Больцмана по координате для числа частиц газа при температуре Т во внешнем поле с потенциальной энергией 
. Формула Больцмана для концентрации частиц в однородном поле тяжести.
6. Термодинамические потенциалы. Внутренняя энергия. Химический и электрохимический потенциалы. Условия равновесия системы. Химический потенциал и статистический интеграл. Зависимости химического потенциала.
