Статистический интеграл поступательного движения

 

Идеальный газ из N микрочастиц находится в объеме V при температуре Т. Найдем статистический интеграл поступательного движения, внутреннюю энергию и давление газа.

 

1. Статистический интеграл частицы

Используем

,

 

,

 

и гамильтониан поступательного движения материальной точки

 

.

Подстановка дает

.

 

Учтено, что координаты и разные проекции импульса разделены. Использовано

.

 

Последний интеграл в квадратных скобках является интегралом Пуассона

 

,

и равен . Получаем статистический интеграл поступательного движения частицы (2.22)

 

. (П.3.1)

С учетом

 

находим статистический интеграл поступательного движения газа

 

.

 

2. Внутренняя энергия газа

Вычисляем (2.26)

.

Из находим

,

тогда

, (П.3.1а)

средняя энергия частицы

 

. (П.3.1б)

Выполняется

,

 

. (П.3.1в)

Действительно, из

 

, ,

находим

,

 

С учетом (П.3.1)

,

получаем (П.3.1в).

Из (П.2.26)

и (П.3.1в)

получаем

,

 

.

 

Результат совпадает с выражением, найденным из микроканонического распределения, а также с известной формулой термодинамики идеального газа.

3. Давление газа

Из (2.98)

и (П.3.1в)

находим

 

и получаем уравнение идеального газа .