Статистический интеграл вращательного движения

 

Молекула массой m состоит из двух одинаковых атомов, находящихся на расстоянии 2 r и вращающихся вокруг центра масс. Найдем статистический интеграл вращений при температуре Т.

При вращении изменяется угловое положение атомов. Используем сферические координаты с центром в точке симметрии молекулы. На рисунке черный круг – атом, второй атом в симметричной точке не показан.

 

 

При вращении изменяются углы φ и θ, молекула движется по окружностям с радиусами, соответственно, и r. Линейные скорости выражаем через угловые скорости и радиусы окружностей

 

– вдоль ,

 

– вдоль .

 

Обобщенными координатами фазового пространства являются углы φ и θ. Для нахождения обобщенных импульсов, соответствующих этим координатам, используем уравнение Лагранжа, связывающее импульс со скоростью:

.

 

Жозеф Луи Лагранж (1736–1865)

 

Функция Лагранжа

 

зависит от координат и скоростей. При отсутствии потенциальной энергии функция Лагранжа равна кинетической энергией. Для двухатомной молекулы с моментом инерции относительно прямой, перпендикулярной к оси молекулы и проходящей через центр масс, получаем

 

.

 

Откуда обобщенные импульсы

 

,

 

.

 

Угловые скорости выражаем через импульсы

 

,

 

.

Результаты подставляем в

 

,

и находим гамильтониан

 

.

 

Статистический интеграл частицы (2.17)

 

,

где

,

получает вид

.

 

Интегрируем вначале по j, затем по p _q, p _j и в конце по θ. Интегралы по p _q и по p _j сводятся к интегралу Пуассона

 

,

находим

,

.

 

В результате статистический интеграл вращательного движениямолекулы

. (П.3.6)