Взаємний перетин поверхонь

7.1. Перетин граних поверхонь. Результатом перетину граних поверхонь є замкнута ламана лінія. Для побудови проекцій точок цієї лінії використовують 2 методи:

1) будують точки перетину ребер однієї поверхні з гранями іншої (рішення задачі на перетин прямої та площини);

2) визначають лінії перетину граней першої поверхні з гранями іншої (рішення задачі на визначення ліній перетину двох площин).

Приклад. Побудувати лінію перетину трьохграної призми АВС з нахиленої пірамідою SEBDF (рис. 7.1).

Аналіз графічної умови.

Призма АВС перпендикулярна П₁, тому її бокові грані горизонтально-проекцюючі площини. На цій підставі горизонтальні проекції граней мають збиральні властивості. Тому позначаємо точки перетину ребер піраміди з гранями призми.

1. S₁E₁×A₁B₁=1₁;

S₁E₁×B₁C₁=2₁;

S₁F₁×A₁B₁=3₁;

S₁F₁×B₁C₁=4₁.

2. 1₂; 2₂ є S₂E₂;

3₂;4₂ є S₂F₂.

Рис. 7.1

Ребро призми В перетинає дві грані піраміди CDE та CDF. Для визначення точок перетину використовуємо пряму лінію і з’єднуємо S₁B₁.

3. S₁B₁×E₁D₁=5₁;

S₁B₁×F₁D₁=6₁;

S₂ є E₂D₂;

S₂5₂×B₂=7₂;

7₁≡B₁.

4. 6₂ є F₂D₂;

S₂6₂×B₂=8₂;

8₁≡B₁≡7₁.

 

На П2 з’єднуємо точки перетину з урахуванням їх видимості:

1₂7₂;2₂7₂;3₂8₂;4₂8₂ – видимі;

1₂3₂;2₂4₂;3₂4₂;8₂7₂ – невидимі

7.2. Перетин поверхонь обертання. В результаті взаємного перетину поверхонь обертання утворюється замкнута крива лінія. Для побудови її проекцій використовують два методи:

1) метод допоміжних січних площин рівня;

2) метод допоміжних січних концентричних сфер.

Метод допоміжних січних площин рівня використовується, якщо:

1) обидві поверхні є поверхнями обертання;

2) вісі обертання обох поверхонь не перетинаються.

Суть методу полягає в тому, що в результаті перетину січних площин і кожної поверхні утворюються прості лінії – твірні або кола, які в свою чергу також перетинаються і дають положення проекцій точок, які належать лінії перетину поверхонь.

Приклад. Побудувати лінію перетину конусу і сфери (рис. 7.2).

План розв’язання.

1. Будуємо проекції точок перетину крайньої правої твірної конусу і сфери та їх горизонтальні проекції:

1₂2₂;

1₁2₁.

 

2. На П2 будуємо фронтальний слід допоміжної січної площини ∑:

∑₂║х;

∑₂×К₂=R₂;

∑₂×Сф₂=r₂;

R₁×r₁=3₁;3₁^/;

3₂;3₂^/ є O₂;

3. ∑₂^/║х;

∑₂^/× К₂=R₂^/;

∑₂^/×Сф₂=r₂^/; Рис. 7.2

R₁^/×r₁^/=4₁^/;4₁;

4₂;4₂^/ є ∑₂^/.

 

4. На П₂ лінія перетину – видима крива. На П₁ – лінія перетину складається з двох частин: видимої та невидимої.

Видимі точки: 1₁, 3₁, 3₁^/, 4₁, 4₁^/ на П₂ розташовані над екватором сфери. 4₂, 4₂^/ - на екваторі, тому є межовими точками видимості. Невидимі на П₁: 4₁, 4₁^/, 2₁, 5₁, 5₁^/ – на П₂ розташовані під екватором сфери.

Метод допоміжних січних концентричних сфер використовується, якщо:

1) обидві поверхні є поверхнями обертання;

2) вісі симетрії (обертання) обох поверхонь перетинаються;

3) обидві поверхні мають загальну площину симетрії.

Приклад. Побудувати лінію перетину прямого конусу та нахиленого циліндру (рис. 7.3).

План розв’язання:

1) розв’язання задачі виконують на П₁; горизонтальні проекції точок лінії перетину визначають як недостатні проекції точок, які належать поверхні конусу (методом твірної або допоміжної січної площини рівня); тому, по-перше, визначають положення точок перетину крайньої правої твірної конусу і твірної циліндра: Рис. 7.3

1₂2₂;

2) з центру О₂ будують сферу 1, дотичну до правої твірної конусу. З точки дотику проводимо допоміжну пряму, паралельно до основи конусу;

3) з’єднують прямою точки перетину сфери 1 з твірними циліндру; ця лінія перетинає попередню і отримуємо проекції точок лінії перетину поверхонь:

Сф₁; 3₂3₂^/;

4) збільшуємо радіус сфери 1 на 2-3 мм і з центру О₂ будуємо сферу 2, концентричну до сфери 1:

Сф₂;

5) з точок перетину сфери 2 та твірної конусу будують допоміжні горизонтальні прямі; з’єднують точки перетину сфери 2 з твірними циліндру; остання пряма перетинає дві попередні і отримуємо положення проекцій точок лінії перетину поверхонь:

4₂, 4₂^/;

5₂, 5₂^/;

6) з’єднують плавною лінією 1₂4₂4₂^/3₂3₂^/5₂5₂^/2₂; лінія перетину на П₂ – видима.

7.3. Перетин граних поверхонь з поверхнями обертання. В результаті перетину утворюється замкнута крива лінія. Для визначення проекцій точок цієї лінії використовують метод допоміжних січних площин рівня, які перетинають обидві поверхні.

Результатом перетину граної поверхні з січною площиною будуть прямі лінії, а результатом перетину з поверхнею обертання – коло. Прямі лінії перетинаються з відповідними колами і утворюються проекції точок, які належать до лінії перетину поверхонь.

Приклад. Побудувати лінію перетину конусу і призми (рис. 7.4).

Аналіз графічної умови:

Призма АВС перпендикулярна П₂, а тому фронтальна проекція лінії перетину поверхонь буде розташована на фронтальній проекції призми і подальше розв’язання задачі зводиться до побудови точок лінії перетину поверхонь. Для цього використовують допоміжні горизонтальні січні площини рівня Г║П1.

1. Г║П1.

2. Г₂║х;

Г₂ є В₂;

Г₂×К₂=R₂;

R₁×B₁=1₁, 1₁^/;

1₂, 1₂^/≡B₂.

3. Г₂^/║х;

Г₂^/×А₂В₂=2₂, 2₂^/;

Г₂^/×В₂С₂=3₂, 3₂^/;

2₁, 2₁^/, 3₁, 3₁^/.

4. Г₂^// є А₂С₂. Рис. 7.4

5. А₂≡4₂≡4₂^/; В₂≡5₂≡5₂^/;

4₁, 4₁^/, 5₁, 5₁^/.