Геометричні поверхні

5.1. Утворення та завдання поверхні на кресленні. В нарисній геометрії поверхню представляють як результат послідовного переміщення однієї лінії (твірної) вздовж іншої (направляючої). Найпростішим прикладом геометричної поверхні є площина, при цьому прямолінійна твірна займає ряд послідовних положень, переміщуючись вздовж прямолінійної направляючої (рис. 5.1).

Задання поверхні на кресленні значно спрощується, якщо ввести термін «визначник поверхні», який в загальному вигляді записується так:

Ф (l; m) [A].

Рис. 5.1 Визначник складається з двох частин:

1) геометричної (l – твірна, m - направляюча);

2) алгоритмічна [A] – вказує на закон утворення поверхні.

Таким чином, визначник дає змогу уявити поверхню з урахуванням кінематики її утворення.

В більшості випадків на кресленні поверхні задають проекціями характерних ліній - ребрами для гранних поверхонь і проекціями крайніх положень твірних для поверхонь обертання (рис. 5.2).

Приклади:

Призматична поверхня пірамідальна циліндрична конічна

Рис. 5.2

5.2. Класифікація поверхонь. Відповідно до форм твірної поверхні ділять на:

1) лінійчаті (твірна-пряма лінія);

2) криві поверхні (твірна – крива лінія).

В свою чергу лінійчаті поверхні ділять на:

1) розгортаємі (для яких розгортки будують за допомогою простих методів);

2) нерозгортаємі (для побудови розгортки котрих застосовують спеціальні методи).

В нарисній геометрії найбільш широко застосовують такі поверхні:

1) гранні поверхні; 2) поверхні обертання.

Крім того існують й інші поверхні: 3) гвинтові (гелікоїди); 4) поверхні, які

Рис. 5.3 задають каркасом точок.

Приклади розгортаємих геометричних поверхонь.

Циліндрична поверхня – утворюється в результаті послідовного переміщення прямолінійної твірної. Прямолінійна твірна переміщується вздовж двох Рис. 5.4

замкнутих криволінійних направляючих. В процесі переміщення пряма зберігає паралельність до заданого напряму S.

1. A₂B₂║S₂;

C₂D₂║S₂.

2. A1B1║S₁;

C₁D₁║S₁.

 

Конічна поверхня в результаті послідовного переміщення прямолінійної прямої вздовж замкнутої криволінійної направляючої. В процесі переміщення твірна завжди проходить через точку S – вершину конуса (рис. 5.4).

Тор – утворюється в результаті послідовного переміщення твірної вздовж криволінійної направляючої. В процесі переміщення твірна є дотичною до направляючої (рис. 5.5).

Нерозгортаємі лінійчаті поверхні

Циліндроїд – утворюється в результаті послідовного переміщення прямолінійної прямої вздовж двох криволінійних направляючих. В процесі переміщення твірна займає положення, паралельне до площини паралелелізму (∑) (рис. 5.6).

1. ∑┴П₁;

l₁║∑ П₁;

l₁×m₁=2₁;

l₁×n₁=1₁.

2. 1₂ є n₂;

2₂ є m₂ Рис. 5.5

 

Коноїд – утворюється в результаті послідовного переміщення прямолінійної

Рис. 5.6 твірної вздовж прямо- та криволінійної направляючих. П₁ – площина паралелелізму.

1. m┴П₁; Рис. 5.7

l₂║x;

l₂×m₂^/=1₂.

2. 1₁ є m₁^/ (рис. 5.7).

 

Коса площина – утворюється в результаті послідовного переміщення прямолінійної твірної вздовж двох прямолінійних направляючих (направляючі – мимобіжні прямі; П₁ – площина паралелелізму) (рис.5.8).

1. l║П₁.

2. l₂║х;

l₂×m₂=1₂; Рис. 5.8

l₂×m₂^/=2₂.

3. 1₁ є m₁;

2₁ є m₁^/.

 

Гранні поверхні

Піраміда:

SA, SB, SC – бокові ребра;

SAB, SBC, SAC – бокові грані;

∆АВС – основа;

AB, BC, AC – ребра основи;

S – вершина (рис. 5.9). Рис. 5.9

Поверхні обертання

Прямий циліндр (рис. 5.10):

і – вісь обертання; AB, CD – твірні.

і┴П_1.

AB┴П₁;CD┴П₁

 

Прямий конус (рис. 5.11):

AS, SB ║П₂; Рис. 5.10 Рис. 5.11

Г₂ є 3₂;

Г₂║х;

Сфера – проекцюється на всі площини проекцій як коло з певним радіусом. Крім того, має характерні лінії – паралелі і меридіани (рис. 5.12).

Тор – утворюється в результаті обертання кола навколо вертикальної вісі, яка розташована за його межами (рис. 5.13).

1.5₁ – R

2.5₂ є ∆₂

Рис. 5.12

5.3. Належність лінії та точки поверхні. Лінія належить поверхні, якщо вона проходить через дві або більше точок цієї поверхні.

Точка належить до поверхні, якщо вона належить до лінії цієї поверхні (рис. 5.9, 5.10).

В нарисній геометрії розв’язується значна кількість задач по визначенню відсутніх проекцій точок, які належать поверхням.

Для визначення відсутніх проекцій точок на конічній поверхні використовують один з двох методів:

1) метод твірної; Рис. 5.13

2) метод допоміжних січних площин рівня (рис. 5.11).

Результатом перетину конусу з площиною Г буде коло радіус якого визначають на П₂ на сліді Г₂ від вісі обертання до твірної конусу. Цим радіусом на П₁ будують коло, на яке проектують 31.

Той самий методичний підхід (допоміжна січна площина) використовують для сфери та тору (рис. 5.12, 5.13).