Метод проеціювання. Ортогональні проекції точки

1.1. Вступ. Нарисна геометрія та інженерна графіка - одна з основних навчальних дисциплін вищої школи. Предметом нарисної геометрії є розробка теорії і методів рішення математичних та інженерних задач графічними методами.

Предметом інженерної графіки є розробка теорії і методів складання та аналізу графічних документів. При цьому основним є метод проекціювання, який дозволяє отримати графічні зображення геометричних образів на площинах проекцій [1, 2, 3].

Всі задачі нарисної геометрії можна поділити на дві групи: пряма (на основі геометричного образу будують його проекцію) та обернена (на основі проекції відтворюють графічний образ).

Останнім часом стрімко розвивається комп’ютерна графіка, яка дозволяє отримати рішення задачі на основі відповідних програм [4, 5].

1.2. Історична довідка. Перші рисунки, близькі до сучасних прямокутних проекцій, зустрічаються вже на стінах давніх храмів і палаців Єгипту та Ассирії. За часів Стародавньої Греції та Риму для побудови зображень також використовувалися прямокутні та центральні проекції на одну площину. Зодчі Київської Русі створили такі всесвітньо відомі пам’ятки архітектури, як Софію Київську, Золоті Ворота, які зараз викликають захоплення. Правила будівництва були викладені у «Будівельному статуті» (1020 р.) Ярослава Мудрого. Там же були наведені зображення, побудовані за проекційним принципом. Новий період розвитку нарисної геометрії починається в епоху Ренесансу, коли з розквітом архітектури та живопису особливого значення набуває перспектива.

У Росії плани Пскова (XV ст.) та Москви (XVII ст.) свідчать про те, що вже тоді було уявлення не тільки про способи виконання фасадів та планів, а й про аксонометрію.

Креслень зодчих Київської Русі не збереглося, хоча є підстави вважати, що майстри користувалися схематичними рисунками. Винятковий інтерес становить креслення будови, виконане гострим предметом на лісовому грунті при будівництві Десятинної церкви в Києві.

Окремі види проекцій використовувалися в техніці до кінця XVIII ст., коли в 1799 р. з’явилася знаменита “Geometrie descriptive” Гаспара Монжа (1746-1818). У цій книзі окремі прямокутні проекції на вертикальну та горизонтальну площини буди зведені в єдину систему. В Росії перший курс нарисної геометрії був прочитаний у 1810 р. в інституті (корпусі) інженерів шляхів сполучення учнем Монжа інженером К.І. Потьє. В 1821 р. вийшов перший російський підручник з нарисної геометрії Я.О. Севастьянова.

Новий етап розвитку нарисної геометрії та інженерної графіки почався в 40-х роках XX ст., коли у Москві професор Четверухін (1891-1974), в Києві професор С.М. Колотов (1880-1965) опублікували ряд наукових праць, які започаткували систематичні наукові та науково-методичні дослідження в цій галузі знань.

Професор І.І. Котов в Москві один з перших застосував апарат нарисної геометрії до розв’язання прикладних задач у різних галузях техніки. Завдяки активній праці передових кафедр України та Росії усталився етап розвитку нарисної геометрії, який можна назвати етапом геометричного моделювання або інженерної геометрії, коли за наперед заданими та вимогами формуються оптимальні геометричні моделі майбутнього виробу. Істотний внесок у цю справу зробили українські вчені – професори Л.М. Куцені, В.М. Найдиш, В.С. Обухова, А.В. Павлов, О.Л. Підгорний, І.А.Скидан та інші.

1.3. Центральні проекції. У цьому випадку S – центр проекції та ∆- площина проекції, складають апарат проеціювання.

Для побудови центральної проекції точки А необхідно через центр проеціювання S та точку А провести пряму до перетину з площиною проекцій ∆. Рис. 1.1

SA x ∆ = A_∆, A ¢ ∆, A_∆ є ∆. Для точки В виконують аналогічні побудови: SВ×∆= В_∆, В ¢ ∆; В_∆ є ∆. Як видно з рис. 1.1, точки А, В не належать до площини проекцій, а проекції точок A_∆ та В_∆ завжди будуть тільки у площині проекцій.

Аналогічно будують центральні проекції будь-якого геометричного образу.

1.4. Паралельні проекції. В цьому випадку замість центра проекції S задають напрям проекціювання ↓S.

Для того, щоб отримати проекції точок А і В необхідно через ці точки провести прямі паралельно до напряму Рис. 1.2

S і до перетину з площиною проекцій S. Як і в попередньому випадку, точки А і В мають довільне положення, а їх проекції розташовані тільки в площині S. АА_S || ↓S, АА_S × S = А_S, BB_S || ↓S, BB_S × S= B_S.

Якщо точку С розташувати в площині S, то сама точка та її проекція співпадуть. С є S, С º С_S.

Основні властивості паралельного проеціювання.

1. Проекція точки є точка.

2. Проекція прямої є пряма.

3. Проекція паралельних прямих є паралельні прямі.

4. Проекція пересічних прямих є пересічні прямі.

1.5. Ортогональні проекції точки. Ортогональне проеціювання — це окремий випадок паралельного проекціювання, при якому напрям проекціювання завжди є перпендикулярним до площини проекції.

Засновник нарисної геометрії Гаспар Монж запропонував використати дві взаємно-перпендикулярні площини проекцій: П₁ – горизонтальна та П₂ – фронтальна, які умовно поділили простір на 4 рівні частини – квадранти (рис1.3). Х – лінія перетину.

Для отримання проекцій точки А на П₁ та П₂ необхідно виконати наступні побудови: 1) АА₂^П₂, 2)АА₂×П₂ = А₂, 3) АА₁ ^ П1, 4)АА₁×П₁= А₁.

В нарисній геометрії при рішенні задач використовують три взаємо-перпендикулярні площини проекцій: П₁ – горизонтальна; П₂ –

Рис. 1.3

фронтальна; П₃ – профільна, які перетинаючись між собою, умовно ділять простір на 8 рівних частин - октантів.

Знаки в октантах: I) x+; y+; z+; II) x+; y-; z+; III) x+; y-; z-; IV) x+; y+; z-; V) x-; y+; z+; VI) x-; y-; z+; VII) x-; y-; z-; VIII) x-; y+; z-.

Розглянемо побудову ортогональної проекції в І

Рис. 1.4

октанті (рис. 1.5).

Для того, щоб побудувати проекції точки А на площинах П₁, П₂, П₃ необхідно з точки А провести перпендикуляри до перетину з цими площинами проекцій.

1) АА₁ ^ П₁, 2) АА₁× П₁=А₁ 3) АА₂ ^ П₂, Рис. 1.5

4) АА₂ × П₂ = А₂, 5) АА₃ ^ П₃, 6) АА₃ × П₃ = А₃.

В першому октанті кожна точка має 6 проекцій: 3 на площинах (А₁, А₂, А₃) і 3 на осях (A_x, A_y, A_z).

Креслення рис. 1.5 має назву об’ємна модель Монжа, яка не використовується при розв’язанні задач, а тільки пояснює механізм утворення проекцій.

При рішенні задач використовують площинне креслення Монжа (рис.1.6), яке утворюється в результаті суміщення П₁ і П₃ з П₂ за стрілками (рис. 1.5).

На площинному кресленні приводять: 1) положення проекцій; 2) лінії проекційного зв’язку, які з’єднують ці проекції.

Основні властивості площинного креслення Монжа: Рис. 1.6

1) фронтальна та горизонтальна проекції точки завжди розташовані на одній лінії проекційного зв’язку, перпендикулярно вісі Х;

2) фронтальна та профільна проекції точки завжди розташовані на одній лінії проекційного зв’язку, перпендикулярно вісі Z;

3) за двома проекціями точки завжди можна побудувати третю, відсутню.

Ортогональне проеціювання дозволяє отримати проекції точки, якщо відомі Рис. 1.7

її координати x, y, z.

Приклад. Побудувати проекції точки А за координатами А (30; 40; 50).

Виходячи з того, що всі координати позитивні робимо висновок, що точка А розташована у першому октанті. Об’ємна модель цього октанту приведена на рис. 1.5. Площинне креслення - на рис. 1.6. Тому відкладаємо відповідні координати x=30, z=50 і отримуємо фронтальну проекцію точки А₂; x=30, y=40 – A₁; A₁A_x=A_zA₃ (рис. 1.7).