Основні задачі на пряму лінію

 

а) Рівняння прямої за двома точками і знаходимо з канонічного рівняння (7) оскільки напрямний вектор , то

Приклад. Записати рівняння прямої, якщо , . Відповідь: .

б) Відстань від точки до прямої знаходиться за формулою

Дійсно, з рис. 8 зрозуміло, що

,

 

Рис. 8.

де – довільна точка прямої. Вектор .

Тоді Але із загального рівняння прямої , тому а . Отже,

отримуємо (9).

Наприклад, відстань від точки до прямої за формулою (9) дорівнює

в) Кут між двома прямими і спочатку знайдемо, коли їх рівняння мають вигляд (див. рис.9)

Рис.9

 

Оскільки а , то

Отже,

– формула тангенса кута між двома прямими.

Зауваження. З рис.9 видно, що між прямими і - два кути: один – гострий , другий – тупий . Згідно формули (11) - це той кут між прямими і , на який потрібно повернути пряму проти годинникової стрілки від носно їх точки перетину до суміщення її з прямою . У формулі (11) для однозначності нагадує стрілка , записана зверху.

Приклад. В рівнобедреному прямокутному трикутнику АВС відома вершина прямого кута С(-1,2) і рівняння гіпотенузи АВ . Скласти рівняння катетів.

Розв’язання. Рівняння прямої, що проходить через точку С знаходимо за формулою пучка прямих , де кутовий коефіцієнт для прямої АС і для прямої ВС.

 

За умовою ÐА=ÐВ=45°, tg45°=1, тому і знаходимо за формулою (11), ураховуючи зауваження до неї.

Спочатку знайдемо і рівняння катета АС.

Оскільки поворот прямої АВ на кут 45° проти годинникової стрілки відносно точки А приводить до суміщення з прямою АС, то у формулі (11) , а . Із рівняння АВ: , тому

За формулою пучка рівняння прямої АС запишеться

(АС) .

Аналогічно знайдемо і рівняння ВС. При вершині В за формулою (11) відповідно беремо , а , ÐВ=45°

Рівняння прямої ВС:

(ВС)

Якщо – прямі паралельні, то і тоді

– умова паралельності двох прямих.

Якщо ж , то , а

або

- умова перпендикулярності двох прямих.

Якщо ж прямі задані загальними рівняннями

то кут між ними можна знаходити, як кут між їх нормальними екторами (див. рис. 10);

 

 

Рис.10

 

косинус кута між двома прямими і , заданими загальними рівняннями.

Якщо , то

– умова паралельності. Якщо ж , то

– умова перпендикулярності прямих.

г) Рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно прямій .

Розв’язання. Кожного разу, коли задається точка, то рівняння прямої краще знаходити за формулою (5) пучка прямих

,

де – знаходимо із загального рівняння заданої прямої і умови паралельності прямих (12).

Наприклад, скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .

Розв’язання. Із загального рівняння прямої , а за умовою паралельності прямих , тоді отримуємо .

д) Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно прямій .

Із загального рівняння , а за умовою перпендикулярності маємо , тоді шукане рівняння за формулою пучка

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої .

Розв’язання. Із . Тоді

Відповідь:

.

 

е) Точка перетину прямих і , якщо вони не паралельні

знаходиться як розв’язок системи

Приклад. Знайти точку перетину прямих. Зробити рисунок, побудувавши графіки.

Розв’язання. Розв’яжемо дану систему рівнянь, домноживши перше рівняння на 2 і додавши результат з другим рівнянням

Підставивши в перше рівняння маємо:

Отже, точка перетину .

Побудуємо графіки за рівняннями, що входять в систему. Побудову краще виконати у відрізках на осях