а) Рівняння прямої за двома точками і знаходимо з канонічного рівняння (7) оскільки напрямний вектор , то
Приклад. Записати рівняння прямої, якщо , . Відповідь: .
б) Відстань від точки до прямої знаходиться за формулою
Дійсно, з рис. 8 зрозуміло, що
,
Рис. 8.
де – довільна точка прямої. Вектор .
Тоді Але із загального рівняння прямої , тому а . Отже,
отримуємо (9).
Наприклад, відстань від точки до прямої за формулою (9) дорівнює
в) Кут між двома прямими і спочатку знайдемо, коли їх рівняння мають вигляд (див. рис.9)
Рис.9
Оскільки а , то
Отже,
– формула тангенса кута між двома прямими.
Зауваження. З рис.9 видно, що між прямими і - два кути: один – гострий , другий – тупий . Згідно формули (11) - це той кут між прямими і , на який потрібно повернути пряму проти годинникової стрілки від носно їх точки перетину до суміщення її з прямою . У формулі (11) для однозначності нагадує стрілка , записана зверху.
Приклад. В рівнобедреному прямокутному трикутнику АВС відома вершина прямого кута С(-1,2) і рівняння гіпотенузи АВ . Скласти рівняння катетів.
Розв’язання. Рівняння прямої, що проходить через точку С знаходимо за формулою пучка прямих , де кутовий коефіцієнт для прямої АС і для прямої ВС.
За умовою ÐА=ÐВ=45°, tg45°=1, тому і знаходимо за формулою (11), ураховуючи зауваження до неї.
Спочатку знайдемо і рівняння катета АС.
Оскільки поворот прямої АВ на кут 45° проти годинникової стрілки відносно точки А приводить до суміщення з прямою АС, то у формулі (11) , а . Із рівняння АВ: , тому
За формулою пучка рівняння прямої АС запишеться
(АС) .
Аналогічно знайдемо і рівняння ВС. При вершині В за формулою (11) відповідно беремо , а , ÐВ=45°
Рівняння прямої ВС:
(ВС)
Якщо – прямі паралельні, то і тоді
– умова паралельності двох прямих.
Якщо ж , то , а
або
- умова перпендикулярності двох прямих.
Якщо ж прямі задані загальними рівняннями
то кут між ними можна знаходити, як кут між їх нормальними екторами (див. рис. 10);
Рис.10
косинус кута між двома прямими і , заданими загальними рівняннями.
Якщо , то
– умова паралельності. Якщо ж , то
– умова перпендикулярності прямих.
г) Рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно прямій .
Розв’язання. Кожного разу, коли задається точка, то рівняння прямої краще знаходити за формулою (5) пучка прямих
,
де – знаходимо із загального рівняння заданої прямої і умови паралельності прямих (12).
Наприклад, скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .
Розв’язання. Із загального рівняння прямої , а за умовою паралельності прямих , тоді отримуємо .
д) Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно прямій .
Із загального рівняння , а за умовою перпендикулярності маємо , тоді шукане рівняння за формулою пучка
Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої .
Розв’язання. Із . Тоді
Відповідь:
.
е) Точка перетину прямих і , якщо вони не паралельні
знаходиться як розв’язок системи
Приклад. Знайти точку перетину прямих. Зробити рисунок, побудувавши графіки.
Розв’язання. Розв’яжемо дану систему рівнянь, домноживши перше рівняння на 2 і додавши результат з другим рівнянням
Підставивши в перше рівняння маємо:
Отже, точка перетину .
Побудуємо графіки за рівняннями, що входять в систему. Побудову краще виконати у відрізках на осях