Лекции.Орг


Поиск:




Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

 

 

 

 


Основні задачі на пряму лінію




 

а) Рівняння прямої за двома точками і знаходимо з канонічного рівняння (7) оскільки напрямний вектор , то

Приклад. Записати рівняння прямої, якщо , . Відповідь: .

б) Відстань від точки до прямої знаходиться за формулою

Дійсно, з рис. 8 зрозуміло, що

,

 

Рис. 8.

де – довільна точка прямої. Вектор .

Тоді Але із загального рівняння прямої , тому а . Отже,

отримуємо (9).

Наприклад, відстань від точки до прямої за формулою (9) дорівнює

в) Кут між двома прямими і спочатку знайдемо, коли їх рівняння мають вигляд (див. рис.9)

Рис.9

 

Оскільки а , то

Отже,

– формула тангенса кута між двома прямими.

Зауваження. З рис.9 видно, що між прямими і - два кути: один – гострий , другий – тупий . Згідно формули (11) - це той кут між прямими і , на який потрібно повернути пряму проти годинникової стрілки від носно їх точки перетину до суміщення її з прямою . У формулі (11) для однозначності нагадує стрілка , записана зверху.

Приклад. В рівнобедреному прямокутному трикутнику АВС відома вершина прямого кута С(-1,2) і рівняння гіпотенузи АВ . Скласти рівняння катетів.

Розв’язання. Рівняння прямої, що проходить через точку С знаходимо за формулою пучка прямих , де кутовий коефіцієнт для прямої АС і для прямої ВС.

 

За умовою ÐА=ÐВ=45°, tg45°=1, тому і знаходимо за формулою (11), ураховуючи зауваження до неї.

Спочатку знайдемо і рівняння катета АС.

Оскільки поворот прямої АВ на кут 45° проти годинникової стрілки відносно точки А приводить до суміщення з прямою АС, то у формулі (11) , а . Із рівняння АВ: , тому

За формулою пучка рівняння прямої АС запишеться

(АС) .

Аналогічно знайдемо і рівняння ВС. При вершині В за формулою (11) відповідно беремо , а , ÐВ=45°

Рівняння прямої ВС:

(ВС)

Якщо – прямі паралельні, то і тоді

умова паралельності двох прямих.

Якщо ж , то , а

або

- умова перпендикулярності двох прямих.

Якщо ж прямі задані загальними рівняннями

то кут між ними можна знаходити, як кут між їх нормальними екторами (див. рис. 10);

 

 

Рис.10

 

косинус кута між двома прямими і , заданими загальними рівняннями.

Якщо , то

– умова паралельності. Якщо ж , то

– умова перпендикулярності прямих.

г) Рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно прямій .

Розв’язання. Кожного разу, коли задається точка, то рівняння прямої краще знаходити за формулою (5) пучка прямих

,

де – знаходимо із загального рівняння заданої прямої і умови паралельності прямих (12).

Наприклад, скласти рівняння прямої, що проходить через точку паралельно прямій .

Розв’язання. Із загального рівняння прямої , а за умовою паралельності прямих , тоді отримуємо .

д) Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно прямій .

Із загального рівняння , а за умовою перпендикулярності маємо , тоді шукане рівняння за формулою пучка

Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої .

Розв’язання. Із . Тоді

Відповідь:

.

 

е) Точка перетину прямих і , якщо вони не паралельні

знаходиться як розв’язок системи

Приклад. Знайти точку перетину прямих. Зробити рисунок, побудувавши графіки.

Розв’язання. Розв’яжемо дану систему рівнянь, домноживши перше рівняння на 2 і додавши результат з другим рівнянням

Підставивши в перше рівняння маємо:

Отже, точка перетину .

Побудуємо графіки за рівняннями, що входять в систему. Побудову краще виконати у відрізках на осях

 





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-10-01; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 779 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Наглость – это ругаться с преподавателем по поводу четверки, хотя перед экзаменом уверен, что не знаешь даже на два. © Неизвестно
==> читать все изречения...

2648 - | 2219 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.011 с.