Вектором

Нехай в системі координат задана точка і ненульовий вектор (рис.1).

Очевидно існує єдина пряма , що проходить через точку перпендикулярно напрямкові вектора (в цьому випадку називають нормальним вектором прямої ).

Рис.1

Доведемо, що лінійне рівняння

є рівнянням прямої , тобто координати кожної точки прямої задовольняють рівняння (1), але координати точки, що не лежить на , рівняння (1) не задовольняють.

Для доведення зауважимо, що скалярний добуток векторів і в координатній формі збігається з лівою частиною рівняння (1).

Далі використаємо очевидну властивість прямої : вектори і перпендикулярні, тоді і тільки тоді, коли точка лежить на . А за умовою перпендикулярності двох векторів їх скалярний добуток (2) перетворюється в для всіх точок , що лежать на , і тільки для них. Отже, (1) – рівняння прямої .

Рівняння (1) називається рівнянням прямої, що проходитьчерез дану точку знормальним вектором .

Приклад. Дана точка М(4,1) і вектор Необхідно:

1) скласти рівняння прямої , що проходить через точку М перпендикулярно вектору ;

2) перевірити, які з точок М₁(0,3), М₂(-6,6), М₃(3;2,5), М₄(8,-1) лежать на прямій ;

3) побудувати пряму і точки М₁, М₂, М₃, М₄.

Відповіді: 1) (х-4)+2(у-1)=0; 2) ,