Базис. Декартові система координат. Дії над векторами в координатній формі

Означення. Система лінійно незалежних векторів простору, за якими можна розкласти довільний вектор, називається базисом цього простору.

Так з теореми 3 випливає, що довільні три некомпланарні вектори утворюють в тривимірному просторі базис, за яким, згідно з формулою (2) і зауваження до неї, можна єдиним чином розкласти довільний вектор простору. Вектори які утворюють базис називаються базисними.

Будемо вважати, що базисні вектори зведені до заданої О.

Означення. Сукупність базісу спільної точки О називають декартовою системою координат (див. рис. 11 у 2.3). Точка О називається початком координат.

Іноді таку систему називають косокутною.

Числа , про які згадувалось у 2.3, називають координатами вектора у заданому базисі, пишуть:

Аналогічно, на площині базис утворюють всякі два неколінеарні вектори, а всякий компланарний з ними може бути розкладений за цим базисом.

Базисним вектором на прямій лінії може бути всякий ненульовий вектор.

Із властивостей лінійних операцій над векторами випливає, що при додаванні і відніманні векторів в даному базисі додаються і віднімаються їх відповідні координати, а при множенні вектора на число множаться на це число координати вектора, тобто

Вектори рівні, коли вони мають рівні відповідні координати.

Приклад. У деякому базисі задані своїми координатами вектори Розкласти вектор за базисом, який утворений із векторів і .

Розв’язання. Розклад вектора за базисом і має вигляд

= + β ,

де числа і β – невідомі. Щоб їх знайти підставимо в останню рівність координати векторів , і , а тоді скористаємось властивостями 1⁰ і 2⁰:

(2,1) + β(3,4) = (-1,2)

(2 , ) + (3β, 4β) = (-1,2)

(2 + 3β, + 4β) = (-1,2)

За властивістю 3⁰ про рівність векторів отримаємо систему рівнянь

-5β = -5, β = 1, ά = -2.