Означення. Система лінійно незалежних векторів простору, за якими можна розкласти довільний вектор, називається базисом цього простору.
Так з теореми 3 випливає, що довільні три некомпланарні вектори 
утворюють в тривимірному просторі базис, за яким, згідно з формулою (2) і зауваження до неї, можна єдиним чином розкласти довільний вектор 
простору. Вектори які утворюють базис називаються базисними.
Будемо вважати, що базисні вектори зведені до заданої О.
Означення. Сукупність базісу спільної точки О називають декартовою системою координат (див. рис. 11 у 2.3). Точка О називається початком координат.
Іноді таку систему називають косокутною.
Числа 
, про які згадувалось у 2.3, називають координатами вектора у заданому базисі, пишуть:
Аналогічно, на площині базис утворюють всякі два неколінеарні вектори, а всякий компланарний з ними може бути розкладений за цим базисом.
Базисним вектором на прямій лінії може бути всякий ненульовий вектор.
Із властивостей лінійних операцій над векторами випливає, що при додаванні і відніманні векторів в даному базисі додаються і віднімаються їх відповідні координати, а при множенні вектора на число множаться на це число координати вектора, тобто
Вектори рівні, коли вони мають рівні відповідні координати.
Приклад. У деякому базисі задані своїми координатами вектори 
Розкласти вектор 
за базисом, який утворений із векторів 
і 
.
Розв’язання. Розклад вектора за базисом і має вигляд
= 
+ β ,
де числа 
і β – невідомі. Щоб їх знайти підставимо в останню рівність координати векторів , і , а тоді скористаємось властивостями 10 і 20:
(2,1) + β(3,4) = (-1,2)
(2 , ) + (3β, 4β) = (-1,2)
(2 + 3β, + 4β) = (-1,2)
За властивістю 30 про рівність векторів отримаємо систему рівнянь
-5β = -5, β = 1, ά = -2.
Отже, = -2 + .
