Ранг матриці

Означення 1. Визначник, складений із елементів матриці розміру , які знаходяться на перетині довільних її рядків і стовпців, називається мінором -того порядку даної матриці.

Для даної матриці можна складати мінори різних порядків, починаючи від 1 (визначник першого порядку приймається рівним своєму єдиному елементу) до меншого із чисел або . Так для матриці

.

Можна скласти 12 мінорів першого порядку (самі елементи), 18 мінорів другого порядку і 4 мінори третього порядку. Випишемо мінори 3-го порядку, знайшовши їх значення (останнє пропонуємо перевірити самостійно)

 

 

Серед мінорів другого порядку можуть бути нульові і відмінні від нуля. (Всі їх ми виписувати не будемо).

Наприклад,

Означення 2. Найвищий порядок мінора матриці , відмінного від нуля, називається рангом цієї матриці і позначається .

Із означення випливає, що якщо ранг матриці , то серед мінорів -того порядку є відмінні від нуля мінори, а всі мінори -го порядку дорівнюють нулю.

Якщо ж матриця нульова, то її ранг дорівнює нулю. Якщо матриця квадратна і невироджена, то її ранг дорівнює порядку матриці. Таким чином, для кожної матриці розміру її ранг приймає відповідне значення , яке знаходиться в межах

В наведеному вище прикладі матриці ми бачили, що найвищий порядок її мінора, відмінного від нуля, дорівнює 2, =2.

Знаходження ранга матриці шляхом перебору значень всіх її можливих мінорів пов’язано із значним обсягом обчислень, особливо коли розмір матриці великий. Тому існує простіший спосіб знаходження рангу, заснований на елементарних перетвореннях.

До елементарних перетворень матриці відносяться:

1) транспонування матриці;

2)множення елементів рядка (стовпця) матриці на число відмінне від нуля;

3)перестановка місцями двох рядків (стовпців);

4)додавання до елементів одного рядка (стовпця) відповідних елементів другого рядка (стовпця) помножених на одне й те ж саме число.

 

Теорема. При елементарних перетвореннях ранг матриці не змінюється.

Означення 3. Дві матриці і називаються еквівалентними (позначається ~ ), якщо одна з них може бути отримана з іншої за допомогою скінченого числа елементарних перетворень.

Ранги еквівалентних матриць рівні,

~ .

Приклад 1. Знайти ранг матриці

.

Розв’язання. Із другого рядка матриці віднімемо перший і переставимо їх місцями:

~ ~ .

Додамо до ІІ-го і ІІІ-го рядків перший, відповідно помножений на –2 і –4, а тоді поміняємо місцями ІІ-ий і ІІІ-ій стовпці, отримаємо:

~ ~ .

Помножимо ІІ-ий рядок на –10 і додамо з ІІІ-м рядком:

~ .

Матриця є трапецієподібною. Вона отримана з за допомогою скінченого числа елементарних перетворень, її ранг дорівнює 3.

Таким чином,

.

Зауважимо, що ранг матриці можна знаходити, якщо скористатись правилом прямокутника (див. 1.1), яке по суті відповідає послідовному застосуванню елементарних перетворень матриць 1) - 4).

Приклад 2. Знайти ранг матриці

 

 

Помножимо ІІІ-ій рядок на (-1) і переставимо його з ІІ-м, провідним елементом виберемо

 

 

.

 

Очевидно що ранг останньої, а значить, і еквівалентної їй початкової матриці А дорівнює 3, тобто .

Зауваження. При знаходжені рангу матриці великого розміру раціональніше використовувати ЕОМ, застосовуючи відносно простий алгоритм правила прямокутників.