СМО с конечной очередью длины т характеризуется тем, что при поступлении очередной заявки возможны три исхода:
– заявка немедленно принимается на обслуживание, если в системе в данный момент находится k заявок и k<n;
– заявка становится в очередь, если п £ k<n+m;
– заявка получает отказ и покидает систему, если k=n+m. Следовательно, в любой момент времени система может находиться в одном из п+т+ 1 состояний, то есть множество состояний 
Увеличение числа заявок в системе происходит только под воздействием потока заявок интенсивности l, а уменьшение числа заявок в системе — только в результате завершения обслуживания одной из заявок, то есть
(k занятых приборов порождают поток обслуженных заявок интенсивности k m).
 |
Размеченный граф состояний СМО с конечной очередью для п= 3, т= 2 изображен на рис. 2.5.
Для определения вероятностей состояний системы в формулы (2.16) и (2.17) подставим значения
и получим:
– для k £ n
;
– для k<n
.
Полагая в уравнении (2.17) N=n+m, находим
(2.25)
Учитывая, что a 0/0!=1 и вычисляя сумму т членов геометрической прогрессии со знаменателем r, находим
(2.26)
Из уравнения (2.16) находим вероятности состояний
; (2.27)
(2.28)
На основании формул (2.25) – (2.28) определим основные показатели эффективности системы.
1. Вероятность отказа в обслуживании – это вероятность того, что в СМО имеется п+т заявок, то есть
(2.29)
Зная Ротк по формулам (2.19) – (2.21), можно вычислить абсолютную и относительную пропускную способность системы, среднее число занятых приборов, коэффициенты их загрузки и простоя.
2. Вероятность того, что поступившая в систему заявка застанет все каналы занятыми (не будет немедленно принята на обслуживание),
. (2.30)
3. Средняя длина очереди
,
где Pn+r – вероятность того, что в очереди находится ровно r заявок (k=n+r).
Подставляя в полученное выражение Pn+r, находим
; (2.31)
. (2.32)
4. Среднее время ожидания в очереди определяется как математическое ожидание. Если к моменту поступления заявки в очереди находится r= 0, 1,..., т– 1 заявок, то она поступит на обслуживание после завершения обслуживания r+ 1 заявок, то есть
;
. (2.33)
Среднее время ожидания 
– это среднее время накопления очереди длиной L.
Среднее число заявок, находящихся в СМО, и среднее время пребывания заявки в системе определяются по формулам (2.22) и (2.23) с учетом формул (2.31) – (2.33).
Из полученных соотношений следует, что показатели Ротк, q, Nз, L, Y не зависят от конкретных значений l и m, а только от их соотношения a. Показатели 
напротив, чувствительны к изменению не только параметра a, но и к изменению l при a =const. Так, например, при увеличении l и m в два раза Ротк, q, nз и L не изменяются, Q увеличивается, а 
уменьшается в два раза, то есть при одновременном увеличении плотности потоков заявок и обслуживании характеристики процесса обслуживания улучшаются.
