Общая характеристика СМО

Основными признаками реальной системы, позволяющими рассматривать ее как своеобразную СМО, являются:

– наличие объектов, нуждающихся в случайные моменты времени в обслуживании (в выполнении некоторых работ над собой или для себя); эти объекты порождают так называемый входящий поток заявок (требований) на обслуживание;

– наличие объектов, которые производят обслуживание и называются обслуживающими приборами (каналами);

– возникновение задержек в обслуживании (образование очереди).

В качестве своеобразных СМО могут рассматриваться: системы связи и ремонта; пункты технического обслуживания; вычислительные центры и отдельные ЭВМ: автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы материального обеспечения.

Для задания СМО необходимо указать: входящий поток заявок, множество обслуживающих приборов и дисциплину обслуживания.

При аналитическом исследовании СМО чаще всего предполагают, что входящий поток – простейший поток событий интенсивности l. Часто заявку отождествляют с ее материальным носителем: поток приборов, агрегатов, машин, поступающих на ремонт; поток отчетов, поступающей в вычислительный центр и так далее

Обслуживающий прибор (канал) – это материальный объект или совокупность объектов, одновременно участвующих в обслуживании заявки. В каждый момент времени прибор может обслуживать только одну заявку.

Основным параметром обслуживающего прибора является среднее время обслуживания одной заявки или производительность прибора . Под временем обслуживания t_обсл всегда будем понимать время от момента начала обслуживания заявки до момента готовности прибора к обслуживанию очередной заявки.

При аналитическом исследовании СМО обычно полагают, что t_обсл – случайная величина, распределенная по показательному закону, то есть

.

Таким образом, каждый обслуживающий прибор при непрерывной работе порождает поток обслуженных заявок интенсивности m.

Отсутствие последействия в данном случае означает, что вероятность завершения обслуживания заявки в любой момент времени не зависит от того, сколько времени оно уже продолжалось.

В зависимости от числа обслуживающих приборов и характера взаимосвязи между ними в процессе обслуживания заявок различают одноканальные и многоканальные, однофазные и многофазные системы.

Обобщенная схема однофазной многоканальной СМО изображена на рис. 2.2, где.сплошной стрелкой показан входящий поток, кружками – заявки, ожидающие обслуживания в очереди, а штриховыми стрелками – возможные пути движения заявок. В этой системе все обслуживающие приборы (П ₁, П ₂., ..., П_n.) выполняют однородные операции обслуживания и работают параллельно. Заявка считается обслуженной системой, если она обслужена одним из ее приборов.

Если обслуживание заявки должно осуществляться последовательно несколькими приборами, то такие системы называются многофазными. Схема одноканальной многофазной (трехфазной) СМО изображена на рис. 2.3. Заявка считается обслуженной системой, если она прошла все фазы обслуживания. Типичными примерами многофазных СМО являются технологические потоки сборки (ремонта) приборов, агрегатов или машин.

Дисциплина обслуживания – это совокупность правил поведения заявки от момента ее поступления в систему до момента прекращения обслуживания. К основным правилам обслуживания относятся: выбор свободного прибора, назначение очередной заявки на обслуживание и дисциплина очереди.

Выбор свободного прибора может осуществляться:

– случайным образом (например, с равной вероятностью);

– в порядке нумерации (наибольший или наименьший номер);

– в зависимости от времени нахождения прибора в состоянии «свободен» (наименьшее или наибольшее время).

В основе правил назначения очередной заявки на обслуживание лежит или фактическое время ожидания, или остающаяся часть времени ожидания. Частными случаями.являются:

– равновероятное поступление на обслуживание любой заявки из очереди;

– строгая очередность – заявки к обслуживанию назначаются в порядке поступления;

– обратная очередность – «последним пришел – первым обслуживается».

Иногда назначение на обслуживание происходит по некоторой системе приоритетов, (пенсионеры обслуживаются в первую очередь).

Дисциплина очереди определяет, в каких случаях заявка становится в очередь и когда она покидает систему, и задается в виде ограничений, накладываемых на параметры СМО: длина очереди (максимально допустимое число заявок в очереди т), время ожидания заявки в очереди t_ож или время пребывания заявки в системе t_c (t_c = t_ож+t_обсл).

Ограничение времени ожидания (пребывания) означает, что заявка может ожидать обслуживания (находиться в СМО) какое-то время, не превышающее некоторой случайной величины t_ож (t_с).

Эти ограничения определяют поток заявок, уходящих из очереди (системы) необслуженными. Обычно предполагают, что этот поток – простейший поток событий интенсивности

,

где – среднее допустимое время ожидания (пребывания). Следует подчеркнуть, что дисциплина очереди не является чем-то внешним по отношению к заявкам. Наоборот, чаще всего указанные ограничения определяются характером заявок.

В зависимости от совокупности ограничений, накладываемых на параметры СМО, различают:

– СМО с отказами – образование очереди не допускается; заявка, заставшая все приборы занятыми, покидает систему;

– чистая СМО с ожиданием – любая заявка, поступившая в систему, будет рано или поздно обслужена (на параметры СМО ограничения не накладываются);

– смешанные СМО – накладывается ограничение на один из параметров: т – СМО с конечной очередью; t_ож (t_с) – СМО с ограниченным временем ожидания (пребывания) или одновременно на параметры т и t_ож (t_с).

Главная задача исследования СМО – установление связи меж­ду параметрами системы (n – число каналов, m, l, m, v) и пока­зателями ее эффективности.

Для решения этой задачи прежде всего необходимо построить математическую модель системы.

2.3.2. Математическая модель однофазной СМО
и показатели ее эффективности.

1. Математическая модель

Состояние однофазной СМО с абсолютно надежными обслужи­вающими приборами в любой момент времени полностью опреде­ляется числом заявок k, находящихся в ней. Действительно, если k £ п, то k заявок находятся на обслуживании, очереди нет; k приборов заняты обслуживанием заявок, а n – k приборов свободны. Если k > n, то все приборы заняты (n заявок обслуживается), а k–п заявок находится в очереди.

Величина k может принимать значения k=0, 1, 2,..., N, где N = n+m, причем для СМО с отказами m =0, а для систем с неограниченной очередью т и N ®¥.

Увеличение числа заявок в системе (переход из состояния S_k в состояние S_{k+ 1}) происходит под воздействием потока заявок ин­тенсивности l, которая не зависит от k, то есть

l_{k,k+ 1}= l. (2.9)

Уменьшение числа заявок в системе (переход из состояния S_k в состояние S_{k– 1}) происходит в общем случае под воздействием потока обслуживании интенсивности m и потока уходов заявок из очереди (системы) интенсивности v, причем l_{k,k+ 1}= f (k, n, m, v), а вид этой функции определяется типом СМО.

Из сказанного следует, что однофазной СМО соответствует граф состояний (рис. 2.4), вершины которого (S ₀, S ₁, S ₂,...) образуют последовательную цепочку и любые две соседние вершины соединены двумя встречно направленными дугами, а процесс ее функционирования представляет собой так называемый процесс «гибели и размножения» (уменьшение и увеличение числа заявок).

Определим предельные вероятности состояний Р_k, для СМО с конечным числом состояний. Для СМО P_k, – это вероятность того, что в произвольный момент времени в системе находится ровно k заявок.

В СМО с конечным числом состояний всегда имеет место ста­ционарный режим, так как между любыми двумя вершинами гра­фа существует маршрут.

Уравнения Колмогорова имеют вид:

– состояние S ₀

l ₁₀ P ₁= l ₀₁ P ₀ (2.10)

– состояние S ₁

l ₀₁ P ₀+ l ₂₁ P ₂= l ₁₀ P ₁+ l ₁₂ P ₁;

учитывая выражение (2.10), получим

l ₂₁ P ₂= l ₁₂ P ₁ (2.11)

– состояние S ₂

l ₁₂ P ₁+ l ₃₂ P ₃= l ₂₁ P ₂+ l ₂₃ P ₂;

учитывая формулу (2.11), имеем

l ₃₂ P ₃= l ₂₃ P ₂ (2.12)

— состояние S_{k -1} (по аналогии)

l_{k,k -1} P_k = l_{k -1, k} P_{k -1} (2.13)

– состояние S_{N -1}

l_{N -1 ,N} P_{N -1}= l_{N , N -1} P_N. (2.14)

Для состояния S _N непосредственно по графу находим уравнение

l_{N -1 ,N} P_{N -1}= l_{N , N -1} P_N,

которое совпадает с уравнением (2.14).

Поэтому последнее уравнение исключаем из /рассмотрения, а вместо него используем условие нормировки

. (2.15)

Для решения системы уравнений (2.10) – (2.15) выразим все вероятности через Р ₀ и получим

(2.16)

 

Подставляя значения Рд в формулу (2.15), получим

(2.17)

Обратим внимание на структуру формул (2.16) и (2.17). В фор­муле (2.16) имеем произведение отношений интенсивностей пере­хода слева направо к интенсивностям перехода справа налево для всех переходов между начальной и рассматриваемой вершинами графа состояний. В формуле (2.17) имеем сумму этих произведе­ний, вычисленных для всех вершин графа .

Подставляя в формулы (2.16) и (2.17) значения интенсивностей переходов l_{i,i -1} и l_{i -1 ,i} для СМО любого типа, можно рассчитать вероятности ее состояний и определить показатели, эффективности.

 

2. Показатели эффективности.

Эффективность СМО характеризует ее приспособленность к выполнению задач по обслуживанию заявок. Показатель эффектив­ности – это количественная мера эффективности, определяющая степень соответствия результатов функционирования СМО целям (задачам), стоящим перед системой.

Рассмотрим наиболее часто используемые показатели эффек­тивности СМО.

1. Вероятность отказа в обслуживании Р_отк – вероятность того, что поступившая в систему заявка не будет обслужена. Это очень важный показатель для СМО.

Абсолютная пропускная способность СМО Q – это среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени. Для оценки потенциальных возможностей СМО по обслуживанию зая­вок используется номинальная пропускная способность системы

.

3. Относительная пропускная способность q – это средняя доля заявок, обслуживаемых системой:

. (2.18)

Величину q можно определить и через Р_отк. Действительно, Р_отк – средняя доля времени, в течение которого заявки получают отказ, а следовательно, и средняя доля заявок, не принимаемых системой на обслуживание, то есть.

. (2.19)

4. Среднее число занятых приборов

 

, (2.20)

где – параметр обслуживания (среднее необходимое число обслуживающих приборов).

Производными от данного показателя являются коэффициент занятости (загрузки) приборов K_з и коэффициент их простоя K _п:

, (2.21)

где r – номинальный коэффициент загрузки приборов.

5. Средняя длина очереди L – математическое ожидание числа заявок, ожидающих обслуживания. Производным от показателей N_з и L является среднее число заявок, находящихся в системе,

Y=N_з+L. (2.22)

6. Среднее время ожидания обслуживания – математиче­ское ожидание времени пребывания заявки в очереди.

7. Среднее время пребывания заявки в системе

, (2.23)

где – среднее время от момента начала обслуживания до момента окончания обслуживания ().

8. Экономическая эффективность СМО может быть оценена средней прибылью, получаемой в единицу времени при функцио­нировании системы:

; (2.24)

где c ₀ – прибыль, получаемая при обслуживании заявки; c – функция стоимости потерь; c_з – стоимость эксплуатации прибора в единицу времени; с _п — стоимость единицы времени простоя при­бора; с_ож – стоимость потерь, связанных с простаиванием заявка в очереди в единицу времени; с_y – стоимость убытков, связанных с уходом заявки из системы.

Выбор показателя для оценки эффективности конкретной СМО определяется как особенностями системы (ее типом) и ее назна­чением, так и задачами проводимого исследования.

Определим показатели эффективности для СМО рассматривае­мых типов, при этом сначала рассмотрим систему с конечной оче­редью, а затем полученные результаты используем при анализе других систем.