Деформация сдвига. Закон Гука при сдвиге.

                           Модуль сдвига  действуют на горизонтальных и вертикальных гранях первого паралелепипела, показано на рис.фофо

Рассмотрим деформацию элемента abcd при сдвиге, то есть от действия касательных напряжений. Поскольку нормальные напряжения на гранях отсутствуют, то длины сторон ab, bc, cd и ad не будут изменяться, но вертикальная диагональ получит некоторое укорочение, а горизонтальная диагональ получит соответствующее удлинение. В результате квадрат превратится в ромб a₁b₁c₁d₁. Угол при вершине b, который до деформации был прямым, уменьшится на некоторую величину γ, то есть будет равняться π/2 - γ, а угол при вершине а увеличится на такую же величину и станет ровным π/2 + γ. Угловая величина γ называется относительным сдвигом, или углом сдвига.

Если материал тела является идеально упругим, то относительный сдвиг γ будет прямо пропорциональным касательному напряжению τ, то есть:

                                                                                                                  (10.2)

где G – некоторый коэффициент пропорциональности, величина которого зависит от механических свойств материала. Величина G называется модулем упругости при сдвиге или модулем второго рода. Напомним, что модулем первого рода является модуль продольной упругости E. Размерностью модуля упругости является паскаль (Па), или кратные величины: килопаскаль (кПа), и мегапаскаль (МПа).

Модуль сдвига G для изотропных материалов зависит от модуля продольной упругости E и коэффициента Пуассона μ. Как известно этот коэффициент равняется отношению, взятому с отрицательным знаком, относительной поперечной деформации   к относительной продольной деформации , т.е.

Для установления зависимости между указанными тремя константами, рассмотрим треугольник oab (рис.10.1,б), угол при вершине b которого равняется π/4. От действия касательных напряжений сторона ob получит некоторое удлинение и станет равной ob₁, а сторона oa получит соответствующее укорочение и станет равной oa₁. При этом:

            ob₁= ob(1+ε_x),   а      oa₁ = oa(1+ε_y)

Заметим, что деформации сторон треугольника являются очень малыми по сравнению с размерами этих сторон и только с целью показать наглядно чертеж, эти деформации значительно увеличены.

Найдем тангенс угла при вершине b треугольника oab. Этот угол равняется π/4 – γ/2. Тогда:

                                                                                   (10.3)

Раскроем тангенс разности двух углов и учтем, что для очень малых углов γ существует равенство этих углов и их тангенсов. В результате получим:

                                                                                 (10.4)

Пользуясь принципом независимости действия нормальных напряжений σ _x   и σ _y и учитывая, что τ = σ _x  = - σ _y, найдем относительные деформации ε_x и ε_y.

                 и                             (10.5)

Приравняем правые части выражений (10.3) и (10.4) и заменим относительные линейные деформации их значениями согласно зависимостей (10.5), в результате получим:

Это равенство возможно при условии, что  .

Учитывая, что , найдем:

                                                                                                       (10.6)

Таким образом, полученная формула устанавливает связь между тремя упругими характеристиками материала: модулями упругости при сдвиге и при растяжении, а также коэффициентом Пуассона. Из этой формулы видно, что модуль упругости при сдвиге имеет меньшее значение, чем модуль упругости при растяжении (сжатии). Например, для стали при μ=1/3 имеем: G=3/8E. Это означает, что сопротивление материалов сдвигу слабее, чем их сопротивление растяжению (сжатию).