Статически неопределенные системы

 

       Статически неопределенными являются системы, внутренние усилия в которых нельзя определить из условий равновесия статики. Для таких систем количество неизвестных усилий превышает количество условий равновесия. Разность между количеством неизвестных усилий и количеством уравнений равновесия статики, которые можно составить для заданной системы, составляет степень ее статической неопределенности. На рис.9.17 приведено пример статически неопределенной системы.

Абсолютно жесткий брус закреплен шарнирно в точке В и поддерживается тремя упругими, вертикально расположенными стержнями. Этот брус нагружен двумя равными по величине внешними силами F, как показано на рис 9.17,а. Все стержни имеют одинаковую длину 3 м. и поперечное сечение круглой формы.

Стержень 3 имеет площадь сечения 2A, а стержни 1 и 2 имеют одинаковую площадь сечения равную А. Стержни изготовлены из стали марки ст.5. Допускаемое напряжение на растяжение равняется

160 МПа. Определить продольные усилия, которые возникают в стержнях, а также диаметры поперечных сечений каждого стержня. Необходимые размеры приведены на рис.9.17,а. 

Расчет статически неопределенных систем осуществляется в такой последовательности:

1) Определяем степень статической неопределенности системы как разность между общим количеством неизвестных усилий и количество уравнений равновесия, которые можно составить для заданной системы. От действия внешних сил F в стержнях системы возникают неизвестные усилия N₁, N₂, N₃, а также две составляющие реакции опоры В – вертикальная V_В и горизонтальная H_В. Всего имеем пять неизвестных сил сопротивления, для определения которых можем составить только три уравнения равновесия. Таким образом, заданная система является дважды статически неопределенной;

                                    

 

                                    

                                                           

                                        Рис. 9.17

 

2) Составляем уравнение равновесия, используя следующие условия равновесия:

                       ΣX_i =0;  ΣZ_i =0;   ΣM_В =0.

Первое условие дает возможность определить горизонтальную составляющую реакции опоры В.

                                            H_В =0.

 

       Второе условие приводит к следующему уравнению:

 

                                   V_В + N₁ + N₂ + N₃ – 2F =0                                                          (9.23)

 

       Используя третье условие, получим уравнение:

 

                                N₁ ·1 + N₂ ·3 + N₃·5 – F·3 – F·6=0                                                  (9.24)

 

3) Чертим геометрическую схему деформации стержней системы и составляем дополнительные уравнения совместимости деформаций этих стержней. От действия внешних сил F абсолютно жесткий брус повернется на некоторый угол вокруг центра шарнирной опоры В. При этом стержни 1,2,3 системы получают удлинение , , соответственно (рис 9.17,б).

Рассмотрим две пары подобных треугольников и составим два геометрических уравнения совместимости деформаций стержней системы:  

 

                                  и                                                          (9.25)

 

4) Составляем дополнительные уравнения относительно неизвестных внутренних усилий, которые возникают в стержнях системы.

 Для этого продольные деформации стержней в геометрических уравнениях совместимости деформаций (9.25) заменяем продольными усилиями, используя формулу (9.10): 

 

                                 ; ;   .

 

Подставим эти значения в зависимости (9.25) и сократим одинаковые величины.

 В результате получим следующие уравнения относительно неизвестных усилий

N₁, N₂, N₃:

                                               N₂ = 3·N₁                                                                   (9.26)

                                               N₃ = 10·N₁                                                             (9.27)

 

5) Решаем систему полученных уравнений (9.23), (9.26) и (9.27) относительно трех неизвестных усилий:

                                N₁ + 9·N₁ + 50·N₁ =9·F, откуда N₁ = 0,15F,

                                         тогда:    N₂ = 0,45F и   N₃ = 1,5F.

Определим, к примеру, усилие в стержнях, если F = 100 кН. Подставим это значение в предыдущие зависимости и получим: N₁ = 15 кН, N₂ = 45 кН, N₃ = 150 кН.

5) Определяем напряжение в поперечных сечениях каждого стержня:

           МПа;  МПа;  

                                  МПа;  

       Сравнивая эти напряжения, находим наибольше из них, т.е.

Приравняем напряжение  к расчетному сопротивлению , находим требуемую площадь поперечного сечения:

, откуда определяем: м², или А =3,57 см². Найдем необходимый диаметр стержня 3. Площадь круга равняется πd²/4, тогда πd²/4 = 2A = 7,14 см², откуда имеем:

                            = 3,4 см.

Стержни 1 и 2 имеют площадь А = 3,57 см² , тогда диаметр этих стержней будет равняться:

                == = 2,41 см.

 Определим напряжение в этих стержнях:

                ;   

                .     

                            

 Статически неопределенные системы коренным образом отличаются от статически определенных систем. В статически определенных системах внутренние усилия зависят только от внешних нагрузок. Эти усилия не зависят от размеров поперечных сечений и материала стержней. В стержнях же статически неопределенных систем внутренние усилия зависят от жесткости каждого стержня и возникают не только от действия внешних сил, но и от изменения температуры или технологических условий монтажа конструкции.