Этот метод моделирования относится к третьему способу получения последовательности чисел с нормальным законом распределения. Метод основан на приближенном воспроизводстве условий, при которых справедлива центральная предельная теорема теории вероятности.
Согласно центральной предельной теореме, при сложении достаточно большого независимых случайных величин с произвольным законом распределения получается случайная величина, распределенная по нормальному закону. Опыт показывает, что при сложении всего шести (k=6) случайных величин равномерно распределенных на интервале [0,1], получается случайная величина, которая с точностью, достаточной для большинства прикладных задач, может считаться нормальной.
Рассмотрим метод аппроксимации нормально распределенной случайной величины Х, основанный на использовании двенадцати (k=12) равномерно распределенных случайных величин.
Алгоритм метода:
- Сложить 12 равномерно распределенных псевдослучайных чисел yi.
- Пронормировать полученную сумму, т.е. получить случайную величину T с М(Т)=0 и
, где Т – нормально распределенная случайная величина. - Результат привести в соответствие с заданным математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением
.
Нормально распределенная случайная величина X с требуемыми значениями математического ожидания и среднеквадратичного отклонения определяется как:
Пусть
где yi – независимые равномерно распределенные на интервале [0,1] случайные величины.
Ранее было показано, что математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной на интервале [0,1] случайной величины Y соответственно равны:
Тогда математическое ожидание суммы Z равно:
а ее дисперсия D(Z) равна:
Пронормируем сумму Z, т.е. перейдем от нее к величине:
Переходя к требуемым математическому ожиданию a и среднеквадратичному отклонению , окончательно имеем:
Таким образом, чтобы определить значение нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием, равным нулю, и среднеквадратичным отклонением, равным единице, необходимо взять 12 равномерно распределенных чисел, сложить их, а из суммы вычесть 6, т.е.:
| (8.4) |
Чтобы определить значение нормально распределенной случайной величины с требуемым математическим ожиданием a и требуемым среднеквадратичным отклонением необходимо из суммы двенадцати равномерно распределенных чисел вычесть 6, а результат умножить на и прибавить a, т.е.
| (8.5) |
Теперь перейдем к генерированию последовательности нормально распределенных случайных чисел.
Рассмотрим датчик нормально распределенных случайных чисел.
Алгоритм датчика (рис. 8.3) реализует метод получения последовательностей псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения, основанный на центральной предельной теореме вероятностей. Алгоритм датчика требует обращения к RANDU для вычисления равномерно распределенных случайных чисел.
Назначение датчика GAUSS:
Вычисление нормально распределенного псевдослучайного числа X с заданным математическим ожиданием AM и среднеквадратичным отклонением S.
Обращение к датчику: GAUSS (IX,S,AM,X),
Описание параметров:
IX – параметр необходимый для обращения к RANDU. При первом обращении, IX – целое число с числом цифр 
. После первого обращения IX=IY, где IY – целое равномерно распределенное случайное число, вычисленное с помощью равномерно распределенных случайных чисел RANDU.
S – требуемое среднеквадратичное отклонение нормального распределения.
AM – требуемое математическое ожидание нормального распределения.
X – значение вычисленной нормально распределенной случайной величины.
Требуемые подпрограммы:
RANDU – датчик равномерно распределенных случайных чисел.
Обращение к RANDU:
RANDU (IX,IY,YF),
где
YF – полученное в результате обращения случайное равномерно распределенное число в интервале [0,1] и представленное в форме с плавающей запятой.
Рис. 8.3. Алгоритм датчика GAUSS
Используя датчик GAUSS, построим алгоритм (рис. 8.4) вычисления последовательности нормально распределенных случайных чисел X с требуемым математическим ожиданием AM и среднеквадратичным отклонением S.
Рис. 8.4. Алгоритм вычисления последовательности нормально распределенных случайных чисел
Исходные данные:
N - длина последовательности нормально распределенных чисел (количество испытаний).
IX - начальное значение, нечетное целое число с числом цифр .
Например.
S, AM – характеристики нормального распределения: среднеквадратичное отклонение и математическое ожидание.
Результат:
X – значение нормального распределения псевдослучайного числа.
Используя различные начальные значения параметра IX, можно формировать различные последовательности нормального распределенных псевдослучайных чисел.
