Если y=f(u), где u=u(x), то есть y — сложная функция, то производная сложной функции находится по следующему правилу: y’=f'(u)·u'(x), то есть производную внешней функции f надо умножить на производную внутренней функции u.
Содержание отчета
1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
2. Цель работы
3. Задание
4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
5. Ответы на контрольные вопросы
6. Вывод
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение производной функции.
2. Дайте определение сложной функции.
3. Напишите основные формулы дифференцирования.
4. Запишите правило нахождения производной сложной функции.
5. В чем заключается геометрический и механический смысл производной.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2
Тема: Вычисление простейших определенных интегралов.
Цель работы: Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».
Задание: Вычислить определенный интеграл
| 1. | 
| 4. | 
|
| 2. | 
| 5. | 
|
| 3. | 
| 6. | 
|
Задание: Вычислить определенный интеграл:
| 7. | 
| 10. | 
|
| 8. | 
| 11. | 
|
| 9. | 
| 12. | 
|
Задание: Вычислить определенный интеграл методом непосредственного интегрирования:
| 13. | 
| 16. | 
|
| 14. | 
| 17. | 
|
| 15. | 
| 18. | 
|
Задание: Вычислить интеграл способом подстановки (замены переменной):
| 19. | 
| 22. |  3 dx
|
| 20. | 
| 23. | 
|
| 21. | 
| 24. | 
|
Задание: Вычислить интеграл методом интегрирования по частям:
| 25. | 
| 28. | 
|
| 26. | 
| 29. | 
|
| 27. | 
| 30. | 
|
Пояснения к работе:
Необходимые формулы:
Интегрирование произведения (функции) на постоянную: 
Интегрирование суммы функций:
Формула интегрирования по частям неопределенные интегралы: 
Формула интегрирования по частям определенные интегралы:
Формула Ньютона-Лейбница определенные интегралы:
Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно.
Содержание отчета
1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
2. Цель работы
3. Задание
4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
5. Ответы на контрольные вопросы
6. Вывод
Контрольные вопросы:
1. Дайте определение первообразной функции.
2. Дайте определение определенного интеграла.
3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
4. Запишите геометрический смысл определенного интеграла.
5. Запишите основные формулы интегрирования.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3
Тема: Расчет сопряжений с применением производной в инженерной графике.
Цель работы: Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».
Задание: Решить задачу на физический смысл производной:
| 1. | Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.
| 4. | Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
|
| 2. | Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени  с.
| 5. | Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x —расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.
|
| 3. | Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.
| 6. | Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 3 с.
|
Задание: Решить задачу на геометрический смысл производной:
| 7. | Прямая  параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.
| 10. | Прямая  является касательной к графику функции  . Найдите  .
|
| 8. | Прямая  является касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.
| 11. | Прямая  является касательной к графику функции  . Найдите  , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
|
| 9. | Прямая  является касательной к графику функции  . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
| 12. | Прямая  является касательной к графику функции  . Найдите  .
|
Задание: Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции:
| 13. | у = 6х-  в его точке с абсциссой равной -1.
| 16. |  в его точке с абсциссой равной 4.
|
| 14. | у = 4-х2 в его точке с абсциссой равной -6. | 17. | f (x)=(x −6)(x 2+6 x +36) в его точке с абсциссой равной 1. |
| 15. | у = -  в его точке с абсциссой равной -2.
| 18. |  его точке с абсциссой равной 3.
|
Задание: На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0.:
| 19. | 
| 22. | 
|
| 20. | 
| 23. | 
|
| 21. | 
| 24. | 
|
Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке:
| 25. | f (x) = x3 – 3x2 + 3x + 2; [– 2; 2] | 28. | f (x) = 9 – 6x2 – x3 [– 4; 2]; |
| 26. | y = 9x + 3x2 – x3 ; [– 2; 2] | 29. | y = 4 – 9х + 3x2 + x3 [– 2; 2] |
| 27. | y = 5 + x4 – 8x [– 3; 2] | 30. | f(х) =2х3 + 3х2 – 36х [– 4; 3] |
Пояснения к работе:
Необходимые формулы:
Геометрический смысл производной:
Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке.
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0:
Физический смысл производной:
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: 
Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:
1.Находим ОДЗ функции.
2. Находим производную функции
3. Приравниваем производную к нулю
4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции: Если на промежутке производная функции >0, то функция возрастает на этом промежутке. Если на промежутке производная функции <0, то функция убывает на этом промежутке.
5. Находим точки максимума и минимума функции. В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-". В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".
6. Находим значение функции в концах отрезка, затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции.
Содержание отчета
1. Титульный лист в соответствии с СТП1.2-2005.
2. Цель работы
3. Задание
4. Выполненная практическая работа в соответствии с заданием
5. Ответы на контрольные вопросы
6. Вывод
Контрольные вопросы:
1. Запишите алгоритм исследования графика функции.
2. Дайте определение касательной к графику функции.
3. Сформулируйте алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.
4. Запишите алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность и экстремумы.
5. Запишите алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке [ a; в ].
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №4
Тема: Определение максимума мощности в цепи постоянного тока с применением производной.
Цель работы: Корректировать знания, умения и навыки по теме: «Дифференциальное и интегральное исчисление».
Задание: Выполните задание по чертежу:
| 1. | 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
| 4. | 
На рисунке изображен график функции у = f (x), определенной на интервале (-6; 5). Найдите сумму точек экстремума функции
f (x).
|
| 2. | 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
| 5. |
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
|
| 3. | 
На рисунке изображен график функции у = f (x), определенной на интервале
(-5; 6). Найдите сумму точек экстремума функции f (x).
| 6. | 
На рисунке изображён график производной функции определенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума у = f (x), функции принадлежащих отрезку [−4; 8].
|
Задание: Выполните задание по чертежу:
| 7. | 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале
(−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
| 10. | 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале
(−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
|
| 8. | 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале
(−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
| 11. | 
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
|
| 9. | 
На рисунке изображён график производной функции  и восемь точек на оси абсцисс: x 1, x 2, x 3,…, x 8. В ответе укажите точки, в которых функция убывает.
| 12. | 
На рисунке изображён график производной функции и восемь точек на оси абсцисс: x 1, x 2, x 3,…, x 8. В ответе укажите точки, в которых функция возрастает.
|
Задание: Найти точки экстремума и определить их характер:
| 13. | y = x 
| 16. | y =- 
|
| 14. | y = 
| 17. | y=(x+1) 
|
| 15. | y = x 
| 18. | y= 
|
Задание: Исследуйте на экстремум функцию:
| 19. | 
| 22. | 
|
| 20. | 
| 23. | 
|
| 21. | 
| 24. | 
|
Задание: Постройте график функции:
| 25. | 
| 28. | 
|
| 26. | 
| 29. | 
|
| 27. | 
| 30. | 
|
Пояснения к работе:
Необходимые формулы:
